LARGE DEFLECTIONS, LOSS OF STABILITY AND OVER-CRITICAL BEHAVIOR OF SLOPING PANELS AND ARCHES OF VARIABLE THICKNESS ON AN ELASTIC BASE

The problem of large deflections of a flat arch in its plane (or an infinitely long panel) loaded with transverse loads is considered. A variational approach has been applied to solve it. The resolving nonlinear equations are reduced to finding the deflection and longitudinal force, which is considered constant along the length of the arch due to its flatness. An approximate solution method is proposed by decomposing the displacements into a Fourier series. The peculiarity of the approach used is that in order to pass the limit points, it is not necessary to use special algorithms such as the continuation method by parameter. It also allows you to trace the process of supercritical deformation of the arch. The proposed approach allows us to consider problems for arches of variable thickness, located on elastic supports, on an elastic base with a variable bed coefficient, various loads. Therefore, it is also convenient in problems of finding, for example, the optimal thickness distribution under restrictions on critical load, on rigiditystiffness, on maximum compression or tension stresses. The results of numerical calculations are presented. The question of the convergence of the solution depending on the number of terms of the series into which the desired deflection decomposes is studied. A good agreement with the known analytical results obtained earlier by solving the equilibrium equations of the arch element and panel in the case of simple types of loading is revealed. At the same time, even in more complex cases of loading and supercritical bending of an arch without an elastic base, the results obtained when holding three, four and five members of the Fourier series, the maximum deflections and critical loads differed by no more than 2.5 %. On the basis of numerical experiments, the features of the arch behavior caused by the rearrangement of geometry during loading are revealed. The processes of loss of stability of the arch and its supercritical behavior are investigated. The effect of symmetric deformation in the case of kinematic loading is found, namely, it is revealed that at a certain value of the concentrated force, an infinite number of equilibrium forms are possible. Arches on an elastic base, as well as with variable thickness are considered (the results are presented in the form of load–displacement diagrams and in the form of pictures of deformed arch shapes). An interesting effect has been revealed based on numerical experiments. It turned out that the increase in thickness when moving away from the supports does not change the nature of the load–displacement diagram, i.e., with some load, cotton occurs. On the contrary, a decrease in thickness when moving away from the supports leads to a flattening of the diagram, and after a certain thickness value in the center, its further decrease leads to the fact that the arch does not pop.

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ, ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛОГИХ ПАНЕЛЕЙ И АРОК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Рассматривается задача о больших прогибах пологой арки в своей плоскости (или бесконечно длинной панели), нагруженной поперечными нагрузками. Для ее решения применён вариационный подход. Разрешающие нелинейные уравнения сведены к отысканию прогиба и продольного усилия, которое считается постоянным по длине арки ввиду ее пологости. Предложен приближенный метод решения путем разложения перемещений в ряд Фурье. Особенностью использованного подхода является то, что для прохождения предельных точек не требуется применять специальные алгоритмы типа метода продолжения по параметру. Он позволяет также проследить процесс закритического деформирования арки. Предложенный подход позволяет рассматривать задачи для арок переменной толщины, находящихся на упругих опорах, на упругом основании с переменным коэффициентом пости, различными нагрузками. Поэтому он является удобным и в задачах об отыскании, например, оптимального распределения толщины при ограничениях на критическую нагрузку, на жесткость, на максимальные напряжения сжатия или растяжения. Приведены результаты численных расчетов. Изучен вопрос о сходимости решения в зависимости от количества членов ряда, в который разлагается искомый прогиб. Выявлено хорошее согласование с известными аналитическими результатами, полученными ранее путем решения уравнений равновесия элемента арки и панели в случае простых видов нагружения. При этом даже в более сложных случаях нагружения и закритического фурье, максимальные прогибы и критические нагрузки отличались не более чем на 2,5 %. На основе численных экспериментов выявлены особенности поведения арки, вызванные перестройкой геометрии в процессе нагружения. Исследованы процессы потери устойчивости арки и её закритического поведения. Обнаружен эффект при симметричной деформации в случае кинематического нагружения, а именно выявлено, что при некотором значении сосредоточенной силы возможно бесконечное число форм равновесия. Рассмотрены арки на упругом основании, а также с переменной толщиной (результаты приведены в виде диаграмм «нагрузка – перемещение» и в виде картин деформированных форм арок). На основе численных экспериментов выявлен интересный эффект. Оказалось, что увеличение толщины при удалении от опор не меняет характера диаграммы «нагрузка – перемещение», т.е. при некоторой нагрузке происходит хлопок. Напротив, уменьшение толщины при удалении от опор приводит к выполаживанию диаграммы, а после некоторого значения толщины в центре дальнейшее ее уменьшение приводит к тому, что хлопка арки не происходит.