Contact Problems of an Inclusion in a Plane Elastic Wedge

Plane contact problems are considered for an isotropic homogeneous elastic wedge with a thin rigid inclusion of a finite length located on its bisector. The outer faces of the wedge are sub- ject to rigid or sliding fixation. The problems are symmetric with respect to the bisector of the wedge. The inclusion is completely coupled with the elastic medium in the contact region. A tan- gential force is applied to the inclusion, under the action of which it is displaced along the bisec- tor by a given value. Using the Mellin integral transform, the contact problems are reduced to integral equations with respect to tangential contact stresses, from which the integral equations of the corresponding problems for an elastic strip can be obtained by limiting passages. Special cases also include problems with one or two inclusions in an elastic plane. The main dimension- less geometric parameter is introduced, which characterizes the relative distance of the inclusion from the wedge apex. Three methods are used to solve the integral equations. The first method consists of obtaining a closed solution based on a special approximation of the kernel symbol. The second method, regular asymptotic, involves expansion of the solution in powers of a small parameter and is effective for inclusions relatively distant from the wedge apex. The third meth- od, singular asymptotic, involves expansion of the solution into several parts and solution of the Wiener – Hopf integral equations. A degenerate solution and a superposition of boundary layer solutions are taken. This method works for inclusions located relatively close to the wedge apex. Using the three methods, a numerical analysis is performed for different types of boundary condi- tions, values of the wedge angle, Poisson's ratio, and the main dimensionless parameter.

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ О ВКЛЮЧЕНИИ В ПЛОСКОМ УПРУГОМ КЛИНЕ

Рассматриваются плоские контактные задачи для изотропного однородного упругого клина, на биссектрисе которого расположено тонкое жесткое включение конечной длины. Внешние грани клина находятся в условиях жесткой или скользящей заделки. Задачи сим- метричны относительно биссектрисы клина. Включение полностью сцеплено с упругой средой в области контакта. К включению приложена касательная сила, под действием которой оно смещается вдоль биссектрисы на заданную величину. При помощи инте- грального преобразования Меллина контактные задачи сводятся к интегральным уравне- ниям относительно касательных контактных напряжений, из которых предельными пере- ходами можно получить интегральные уравнения соответствующих задач для упругой полосы. Частными случаями также являются задачи об одном или двух включениях в упру- гой плоскости. Вводится основной безразмерный геометрический параметр, характеризу- ющий относительную удаленность включения от вершины клина. Для решения интеграль- ных уравнений применяются три метода. Первый метод состоит в получении замкнутого решения, основанного на специальной аппроксимации символа ядра. Второй метод, регу- лярный асимптотический, включает разложение решения по степеням малого параметра и эффективен для включений, относительно удаленных от вершины клина. Третий метод, сингулярный асимптотический, связан с разложением решения на несколько частей и ре- шением интегральных уравнений Винера – Хопфа. Берется вырожденное решение и су- перпозиция решений типа погранслоя. Этот метод работает для включений, расположен- ных относительно близко к вершине клина. При помощи трех методов проводится числен- ный анализ для различных типов граничных условий, значений угла клина, коэффициента Пуассона и основного безразмерного параметра.