НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕРМОУПРУГОДИФФУЗИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ БЕРНУЛЛИ – ЭЙЛЕРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Земсков, А.В.; Хао, Ле Ван

doi:10.15593/perm.mech/2023.3.07

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕРМОУПРУГОДИФФУЗИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ БЕРНУЛЛИ – ЭЙЛЕРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

А.В. Земсков, Ле Ван Хао

Сведения об авторах

А.В. Земсков
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), Москва, Россия; Научно-исследовательский институт механики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия
Ле Ван Хао
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), Москва, Россия

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.3.07

Рассматривается задача о нестационарных колебаниях балки Бернулли – Эйлера с учетом релаксации температурных и диффузионных процессов. Исходная математическая модель включает в себя систему уравнений нестационарных изгибных колебаний балки с учетом тепломассопереноса, которая получена из общей модели термомеханодиффузии для сплошных сред с помощью обобщенного принципа Даламбера. На основе полученных уравнений сформулирована постановка начально-краевой задачи об изгибе шарнирно-опертой ортотропной балки, находящейся под действием распределенных по поверхности термоупругодиффузионных возмущений. Решения задачи о нестационарных термоупругодиффузионных колебаниях балки ищется в интегральной форме. Ядрами интегральных представлений являются функции Грина, для нахождения которых используются разложения в тригонометрические ряды Фурье и преобразование Лапласа по времени. Трансформанты функций Грина представлены через рациональные функции параметра преобразования Лапласа. Переход в пространство оригиналов осуществляется аналитически с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления. Получены аналитические выражения для функций Грина рассматриваемой задачи. На примере шарнирно-опертой трехкомпонентной балки, выполненной из сплава цинка, меди и алюминия, находящейся под действием распределенной по длине механической нагрузки, исследовано взаимодействие механического, температурного и диффузионного полей. Проанализировано влияние релаксационных эффектов на кинетику тепломассопереноса. Решение представлено в аналитической форме и в виде графиков зависимости искомых полей перемещения, приращений температуры и приращений концентрации компонент среды от времени и координат. В заключение приведены основные выводы о влиянии связанности полей и релаксационных эффектов на напряженно-деформированное состояние и тепломассоперенос в изгибаемой балке.

Ключевые слова

термоупругая диффузияпреобразование Лапласаряды Фурьефункции Гринабалка Бернулли – Эйлеранестационарные задачи.

Unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the Bernoulli-Euler beam under the action of a distributed transverse load

The paper deals with the problem of unsteady vibrations of the Bernoulli – Euler beam, taking into account relaxation of temperature and diffusion processes. The original mathematical model includes a system of equations of non-stationary bending oscillations of the beam taking into account heat and mass transfer, which is obtained from the general model of thermoelastic diffusion for continuum using variational D'Alembert principle. Based on the obtained equations, the statement of the initial-boundary problem concerning bending of the hinged orthotropic beam, which is under the action of thermo- elastic diffusion perturbations distributed on the surface, is formulated. Solutions of the problem of unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the beam are sought in integral form. The kernels of integral representations are Green's functions, for finding of which decompositions into trigonometric Fourier series and Laplace transformation over time are used. Laplace transforms of Green's functions are represented through the rational functions of Laplace transformation parameter. Transition into the space of the originals is carried out analytically using deductions and tables of operational calculus. Analytical expressions for Green functions of the problem under consideration are obtained. On the example of a simple supported three-component beam made of an alloy of zinc, copper, and aluminum, which is under the influence of mechanical load distributed along the length, the interaction of mechanical, temperature and diffusion fields is investigated. The influence of relaxation effects on the kinetics of heat and mass transfer is analyzed. The solution is presented in analytical form and in the form of graphs of the dependence of the desired fields of movement, temperature increments, and increments of concentration of medium components on time and coordinates. In conclusion, the main conclusions concerning influence of field connectivity and relaxation effects on the stress-strain state and heat and mass transfer in the bendable beam are given.

Keywords

thermoelastic diffusionLaplace transformFourier seriesGreen's functionsBernoulli – Euler beamunsteady problems.

Литература

1.Maxwell J.C. On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. – 1879. – Vol. 170. – P. 231–256. Scholar
2.Горский В.С. Исследование упругого последействия в сплаве Cu-Au с упорядоченной решеткой // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1936. – Т. 6, № 3. – С. 272–276. Scholar
3.Nachtrieb N.H., Handler G.S A relaxed vacancy model for diffusion incrystalline metals // Acta Metallurgica. – 1954. – Vol. 2, no. 6. – P. 797–802. Scholar
4.Petit J., Nachtrieb N.H. Self-Diffusion in Liquid Gallium // Journal of Chemical Physics. – 1956. – Vol. 24. – P. 1027. Scholar
5.Prussin S. Generation and Distribution of Dislocations by Solute Diffusion // J. Appl. Phys. – 1961. – Vol. 32. – P. 1876– 1881. Scholar
6.Подстригач Я.С., Павлина В.С. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в N-компонентном твёрдом растворе // Физико-химическая механика материалов. – 1965. – № 4. – С. 383–389. Scholar
7.Еремеев В.С. Диффузия и напряжения. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 182 с. Scholar
8.Князева А.Г. Введение в термодинамику необратимых процессов. – Томск: Изд-во «Иван Федоров», 2014. – 172 с. Scholar
9.Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Диффузия примеси в материале под действием вибрационных нагрузок // Чебышевский сборник. – 2017. – Т. 18, № 3. – С. 292–305. Scholar
10.Парфенова Е.С., Князева А.Г. Влияние параметров химической реакции на взаимодействие тепловых, диффузионных и механических волн в условиях обработки поверхности потоком частиц // Вычислительная механика сплошных сред. – 2021. – Т. 14, № 1. – С. 77–90. Scholar
11.Lata P. Time harmonic interactions in fractional thermoelastic diffusive thick circular plate // Coupled Systems Mechanics. – 2019. – Vol. 8, no. 1. – P. 39–53. Scholar
12.Швец Р.Н., Флячок В.М. Вариационный подход к решению динамических задач механотермодиффузии анизотропных оболочек // Мат. физ. и нелинейная механика. – 1991. – № 16. – С. 39–43. Scholar
13.Швец Р.Н., Флячок В.М. Уравнения механодиффузии анизотропных оболочек с учетом поперечных деформаций // Математические методы и физико-механические поля. – 1984. – Вып. 20. – С. 54–61. Scholar
14.Aouadi M., Copetti M.I.M. Analytical and numerical results for a dynamic contact problem with two stops in thermoelastic diffusion theory // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. – 2015. – P. 1–24. DOI: 10.1002/zamm.201400285 Scholar
15.Copetti M.I.M., Aouadi M. A quasi-static contact problem in thermoviscoelastic diffusion theory // Applied Numerical Mathematics. – 2016. – Vol. 109. – P. 157–183. Scholar
16.Aouadi M., Miranville A. Smooth attractor for a nonlinear thermoelastic diffusion thin plate based on Gurtin–Pipkin’s model // Asymptotic Analysis. – 2015. – Vol. 95. – P. 129–160. Scholar
17.Aouadi M. On thermoelastic diffusion thin plate theory // Appl. Math. Mech.-Engl. Ed. – 2015. – Vol. 3, no. 5. – P. 619–632. Scholar
18.Aouadi M., Miranville A. Quasi-stability and global attractor in nonlinear thermoelastic diffusion plate with memory // Evolution equations and control theory. – 2015. – Vol. 4, no. 3. – P. 241–263. Scholar
19.Bhattacharya D., Kanoria M. The influence of two temperature generalized thermoelastic diffusion inside a spherical shell // International Journal of Engineering and Technical Research (IJETR). – 2014. – Vol. 2, iss. 5. – P. 151–159. Scholar
20.Multiple fields coupled elastic flexural waves in the thermoelastic semiconductor microbeam with consideration of small scale effects / M. Huang, P. Wei, L. Zhao, Y. Li // Composite Structures. – 2021. – Vol. 270 – P. 114104. DOI: 10.1016/j.compstruct.2021.114104. Scholar
21.Kumar R., Devi S., Sharma V. Resonance of Nanoscale Beam due to Various Sources in Modified Couple Stress Thermoelastic Diffusion with Phase Lags // Mechanics and Mechanical Engineering. – 2019. – Vol. 23. – P. 36–49. Scholar
22.Tarlakovskii D.V., Zemskov A.V. An Elastodiffusive Orthotropic Euler-Bernoulli Beam with Considering Diffusion Flux Relaxation // Math. Comput. Appl. – 2019. – Vol. 24, iss. 1. – 23. DOI: 10.3390/mca24010023 Scholar
23.Zemskov A.V., Okonechnikov A.S., Tarlakovskii D.V. Unsteady elastic-diffusion oscillations of a simply supported Euler-Bernoulli beam under the distributed transverse load action // Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. – 2021. – Vol. 141. – P. 487–499. Scholar
24.Кумар Р., Каушал С., Викрам. Отклик нелокальных и фазовых запаздываний на нагружения линейного типа в теориях термоупругих моментных напряжений с учетом диффузии // Изв. РАН. МТТ. – 2021. – № 4. – С. 151–164. Scholar
25.Комар Л.А., Свистков А.Л. Термодинамика упругого материала с релаксирующим потоком тепла // Изв. РАН. МТТ. – 2020. – № 4. – С. 152–157. Scholar
26.Kumar R., Devi S. Deformation of modified couple stress thermoelastic diffusion in a thick circular plate due to heat sources // CMST. – 2019. – Vol. 25, no. 4. – P. 167–176. Scholar
27.Zenkour A.M. Thermoelastic diffusion problem for a half-space due to a refined dual-phase-lag Green-Naghdi model // Journal of Ocean Engineering and Science. – 2020. – Vol. 5, no. 3. – P. 214–222. DOI: 10.1016/j.joes.2019.12.001 Scholar
28.Ailawaliar P., Budhiraja S. Dynamic Problem in Thermoelastic Solid Using Dual-Phase-Lag Model with Internal Heat Source // J. of Math. Sci. and App. – 2014. – Vol. 2, no. 1. – P. 10–16. Scholar
29.Формалев В.Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. Scholar
30.Abbas A.I. The effect of thermal source with mass diffusion in a transversely isotropic thermoelastic infinite medium // Journal of measurements in engineering. – 2014. – Vol. 2, no. 4. – P. 175–184. Scholar
31.Davydov S.A., Zemskov A.V. Thermoelastic Diffusion Phase-Lag Model for a Layer with Internal Heat and Mass Sources // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2022. – Vol. 183, part C. – P. 122213. DOI: 10.1016/j.jheatmasstransfer.2021.122213 Scholar
32.Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга). – М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. – 224 с. Scholar
33.Земсков А.В., Ле Ван Хао. Модель нестационарного изгиба балки Бернулли – Эйлера с учетом тепломассопереноса // Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред: сборник трудов 11-й Всероссийской научной конференции с международным участием. Москва, 23 – 25 ноября 2021 г. – М.: ООО «Сам Полиграфист», 2021. – С. 280–289. Scholar
34.Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 586 с. Scholar
35.Физические величины: справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский [и др.]; под общ. ред. И.С. Григорьева, И.З. Мелихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с. Scholar

1.Maxwell J.C. On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1879, V. 170, pp. 231–256. Scholar
2.Gorskij V.S. Issledovanie uprugogo posledejstviya v splave Cu-Au s uporyadochennoj reshetkoj [Study of elastic after- effect in Cu-Au alloy with an ordered lattice]. Zhurnal e’ksperimental’noj i teoreticheskoj fiziki, 1936, V. 6, No 3, pp. 272–276 [in Russian]. Scholar
3.Nachtrieb N.H., Handler G.S. A relaxed vacancy model for diffusion incrystalline metals. Acta Metallurgica, 1954, V. 2, No 6, pp. 797–802. Scholar
4.Petit J., Nachtrieb N. H. Self-Diffusion in Liquid Gallium. Journal of Chemical Physics, 1956, V. 24, P. 1027. Scholar
5.Prussin S. Generation and Distribution of Dislocations by Solute Diffusion. J. Appl. Phys., 1961, V.32, pp.1876–1881. Scholar
6.Podstrigach Ya.S., Pavlina B.C. Differencial'nye uravneniya termodinamicheskih processov v N-komponentnom tvydrom rastvore [Differential Equations of Thermodynamic Processes in an N-Component Solid Solution]. Fiziko- himicheskaya mekhanika materialov, 1965, No 4, pp. 383–389. Scholar
7.Eremeev V.S. Diffuziya i napryazheniya [Diffusion and stress]. Energoatomizdat. – Moscow, 1985, 182 p. [In Russian]. Scholar
8.Knyazeva A.G. Vvedenie v termodinamiku neobratimy`x processov [Introduction to the thermodynamics of irreversible processes], Ivan Fedorov publishing house, Tomsk, 2014, 172 p. [in Russian]. Scholar
9.Indeytsev D.A., Mochalova Yu.A. Impurity diffusion in material under vibration loads. Chebyshevskii Sbornik, 2017, V. 18, No 3, pp. 290–303. [In Russian]. Scholar
10.Parfenova E.S., Knyazeva A.G. The influence of chemical reaction parameters on the interaction of thermal, diffusion and mechanical waves under surface treatment by a particle beam. Computational Continuum Mechanics, 2021, V. 14, No 1, pp. 77–90. Scholar
11.Lata P. Time harmonic interactions in fractional thermoelastic diffusive thick circular plate // Coupled Systems Mechanics, 2019, V. 8, No 1, pp. 39–53. Scholar
12.Shvets R.N., Flyachok V.M. Variacionny`j podxod k resheniyu dinamicheskix zadach mexanotermodiffuzii anizotropny`x obolochek [A variational approach to solving dynamic problems of mechanothermal diffusion of anisotropic shells]. Mat. fiz. i nelinejnaya mexanika, 1991, No 16, pp. 39–43. [In Russian]. Scholar
13.Shvets R.N., Flyachok V.M.: Uravneniya mexanodiffuzii anizotropny`x obolochek s uchetom poperechny`x deformacij [The equations of mechanothermodiffusion of anisotropic shells taking into account transverse deformations]. Matematicheskie metody i fiziko-mekhanicheskie polya, 1984, Vyp. 20, pp. 54–61. Scholar
14.Aouadi M., Copetti M.I.M. Analytical and numerical results for a dynamic contact problem with two stops in thermoelastic diffusion theory. ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 2015, pp. 1–24. DOI: 10.1002/zamm.201400285. Scholar
15.Copetti M.I.M., Aouadi M. A quasi-static contact problem in thermoviscoelastic diffusion theory. Applied Numerical Mathematics, 2016, V.109, pp. 157–183. Scholar
16.Aouadi M., Miranville A. Smooth attractor for a nonlinear thermoelastic diffusion thin plate based on Gurtin–Pipkin’s model. Asymptotic Analysis, 2015, V.95, pp. 129–160. Scholar
17.Aouadi M. On thermoelastic diffusion thin plate theory. Appl. Math. Mech.-Engl. Ed., 2015, V.3, No.5, pp. 619–632. Scholar
18.Aouadi M., Miranville A. Quasi-stability and global attractor in nonlinear thermoelastic diffusion plate with memory. Evolution equations and control theory, 2015, V. 4, – No 3, pp. 241–263. Scholar
19.Bhattacharya D., Kanoria M. The influence of two temperature generalized thermoelastic diffusion inside a spherical shell. International Journal of Engineering and Technical Research (IJETR), 2014, V. 2, Is. 5, pp. 151–159. Scholar
20.Huang M., Wei P., Zhao L., Li Y. Multiple fields coupled elastic flexural waves in the thermoelastic semiconductor microbeam with consideration of small scale effects, Composite Structures, 2021, V. 270, 114104. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.114104. Scholar
21.Kumar R., Devi S., Sharma V. Resonance of Nanoscale Beam due to Various Sources in Modified Couple Stress Thermoelastic Diffusion with Phase Lags. Mechanics and Mechanical Engineering, 2019, V. 23, pp. 36–49. Scholar
22.Tarlakovskii D.V., Zemskov A.V. An Elastodiffusive Orthotropic Euler-Bernoulli Beam with Considering Diffusion Flux Relaxation. Math. Comput. Appl., 2019, V. 24, Is. 1, 23. DOI:10.3390/mca24010023. Scholar
23.Zemskov A.V., Okonechnikov A.S., Tarlakovskii D.V. Unsteady elastic-diffusion oscillations of a simply supported Euler-Bernoulli beam under the distributed transverse load action. Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Materials, 2021, V. 141, pp. 487–499. Scholar
24.Kumar R., Kaushal S., Vikram D. Response of Non- Local and Phase-Lags due to Ramp-Type Loading in Modified Couple Stress Thermoelastic with Mass Diffusion. Mech. Solids, 2021, V. 56, No 4, pp. 559-570. Scholar
25.Komar L.A., Svistkov A.L. Thermodynamics of Elastic Material with Relaxing Heat Flux. Mech. Solids, 2020, V. 55, No 4, pp. 584-588. Scholar
26.Kumar R., Devi S. Deformation of modified couple stress thermoelastic diffusion in a thick circular plate due to heat sources. CMST, 2019, V. 25, No 4, pp. 167–176. Scholar
27.Zenkour A.M. Thermoelastic diffusion problem for a half-space due to a refined dual-phase-lag Green-Naghdi model. Journal of Ocean Engineering and Science, 2020, V. 5, No 3, pp. 214–222. https://doi.org/10.1016/j.joes.2019.12.001. Scholar
28.Ailawaliar P., Budhiraja S. Dynamic Problem in Thermoelastic Solid Using Dual-Phase-Lag Model with Internal Heat Source. J. of Math. Sci. and App., 2014, V. 2, No 1, pp. 10–16. Scholar
29.Formalev V.F. Teploperenos v anizotropnyh tverdyh telah. Chislennye metody, teplovye volny, obratnye zadachi [Heat transfer in anisotropic solids. Numerical methods, thermal waves, inverse problems]. FIZMATLIT, Moscow, 2015. Scholar
30.Abbas A.I. The effect of thermal source with mass diffusion in a transversely isotropic thermoelastic infinite medium. Journal of measurements in engineering, 2014, V. 2, No 4, pp. 175–184. Scholar
31.Davydov S.A., Zemskov A.V. Thermoelastic Diffusion Phase-Lag Model for a Layer with Internal Heat and Mass Sources. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2022, V. 183, Part C, 122213. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2021.122213. Scholar
32.Krylov V.I., Skoblya N.S. Metody priblizhennogo preobrazovaniya Fur'e i obrashcheniya preobrazovaniya Laplasa (spravochnaya kniga) [Approximate Fourier Transform Methods and Laplace Transform Inversion (Reference Book)]. Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury izdatel'stva «Nauka», Moscow, 1974, 224 p. Scholar
33.Zemskov A.V., Le Van Hao. Model' nestacionarnogo izgiba balki Bernulli-Ejlera s uchetom teplomassoperenosa [Model of unsteady bending of a Bernoulli-Euler beam taking into account heat and mass transfer]. Mekhanika kompozicionnyh materialov i konstrukcij, slozhnyh i geterogennyh sred. Sbornik trudov 11-j Vserossijskoj nauchnoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem. Sam Poligrafist, Moscow, 2021, pp. 280–289. [In Russian] Scholar
34.Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Spravochnik po operacionnomu ischisleniyu [Operational Calculus Handbook]. «Vy' sshaya shkola», Moscow, 1965, 586 P. [In Russian] Scholar
35.Fizicheskie velichiny: Spravochnik [Physical quantities: Handbook] / Babichev A.P., Babushkina N.A., Bratkovskij A.M. ets. Edited by Grigor'ev I.S., Melixov I.Z. Energoatomizdat, Moscow, 1991, 1232 P. [In Russian] Scholar

Другие статьи выпуска

Весь выпуск (№ 3, 2023)

Скачать PDF

Информация о статье

Опубликована: 03.07.2023
В выпуске: 03.07.2023
Выпуск: № 3 (2023)

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕРМОУПРУГОДИФФУЗИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ БЕРНУЛЛИ – ЭЙЛЕРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Аннотация

Ключевые слова

Unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the Bernoulli-Euler beam under the action of a distributed transverse load

Keywords

Литература

Другие статьи выпуска

Информация о статье