Representative Volume and Effective Material Characteristics of Periodic and Statistically Uniformly Reinforced Fiber Composites

V.M. Pestrenin, I.V. Pestrenina, L.V. Landik, A.R. Fagalov, A.G. Pelevin

Author details

V.M. Pestrenin
Perm State National Research University, Perm, Russian Federation
I.V. Pestrenina
Perm State National Research University, Perm, Russian Federation
L.V. Landik
Perm State National Research University, Perm, Russian Federation
A.R. Fagalov
Perm State National Research University, Perm, Russian Federation
A.G. Pelevin
Perm State National Research University, Perm, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.1.10

In the deformable solid mechanics, there are concepts associated with continuum points (displacements, relative elongations, shifts) and a set of continuum points – an elementary volume (mass, energy, stresses). The role of such volume in the mechanics of composite materials is played by the representative volume element (RVE).This concept was first introduced by R. Hill (1963). Modern authors use the W.J. Drugan, J.R. Willis (1996) formulation. Based on the analysis of the RVE concept, we formulated its essential features: RVE is the minimum possible sample for numerical tests to determine the effective material parameters of the composite; under any RVE loading, its macroscopic stress-strain state is uniform. Its significance for the mechanics of composite materials is revealed: the existence of RVE for a composite is a criterion for applying the effective modulus theory to the analysis of its stress-strain state; the dehomogenization of a stressed-state composite material at a point is a solution to the micromechanics problem of the RVE stress-strain state determination; the characteristic size of RVE limits the size of the sampling grid in the numerical study. An iterative algorithm for constructing a representative volume of a periodic structure composite and its effective material thermoelastic characteristics is proposed. It is shown that the geometric shape of such a composition is a rectangular parallelepiped. The RVE construction algorithm for periodic compositions is extended to the composites statistically uniformly reinforced with continuous fibers. A method for modeling such materials with a following regular structure is suggested described: in the section perpendicular to the fibers, fiber centers should be located at the vertices of regular triangles. Examples of constructing RVE and thermoelastic material characteristics of specific compositions are given. The calculation results are compared with the data obtained using certified software products.

Keywords

compositerepresentative volume elementeffective material characteristicsperiodic cellstatistically uniformly reinforcedfiber compositeperiodization of a stochastic structure.

ПРЕДСТАВИТЕЛЬНЫЙ ОБЪЕМ И ЭФФЕКТИВНЫЕ МАТЕРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И СТАТИСТИЧЕСКИ ОДНОРОДНО АРМИРОВАННЫХ ВОЛОКОННЫХ КОМПОЗИТОВ

В механике деформируемого твердого тела различают понятия, связанные с точками континуума (перемещения, относительные удлинения, сдвиги) и множеством точек континуума – элементарным объемом (масса, энергия, напряжения). В механике композитных материалов роль такого объема выполняет представительный объем (representative volume element – RVE). Это понятие впервые введено R. Hill (1963). Современными авторами используется формулировка W.J. Drugan, J.R. Willis (1996). В работе на основе анализа понятия RVE формулируются его сущностные признаки: RVE – минимально возможный образец для численных испытаний по определению эффективных материальных параметровкомпозита; при любом нагружении RVE его макроскопическое напряженно-деформированное состояние однородно. Раскрывается его значение для механики композитных материалов: существование RVE для композита является критерием для применения теории эффективного модуля к анализу его напряженно-деформированного состояния; дегомогенизация напряженного состояния композитного материала в точке –решение задачи микромеханики о напряженно деформированном состоянии RVE; характерный размер RVE ограничивает размер сетки дискретизации при численном исследовании. Предлагается итерационный алгоритм построения представительного объема композита периодической структуры и его эффективных материальных термоупругих характеристик. Показывается, что геометрической формой такой композиции является прямоугольный параллелепипед. Алгоритм построения RVE для периодических композиций распространяется на статистически однородно армированные непрерывными волокнами композиты. Рассмотрен способ моделирования таких материалов регулярной структурой. Показано, что в этом случае в сечении, перпендикулярном волокнам, центрыволокон должны располагаться в вершинах правильных треугольников. Приводятся примеры построения RVE и термоупругих материальных характеристик конкретных композиций. Результаты вычислений сравниваются с данными, полученными на сертифицированных программных продуктах.

Ключевые слова

композитпредставительный объемэффективные материальные характеристикипериодическая ячейкастатистически однородно армированныйволоконный композитпериодизация стохастической структуры.

Bibliography

1.Hill R. Elastic properties of reinforced solids: Some theoretical principles. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1963, No. 11 (5), pp. 357-372. Scholar
2.Pestrenin, V.M., Pestrenina, I.V., Landik, L.V. Characteristics of Compositions of Unidirectional Short Boron Fibers and Metal Matrices. Mechanics of Composite Materials , 2020, No.55, pp. 1-14. doi:10.1007/s11029-020-09849-7 Scholar
3.Kanit, T., Forest, S., Galliet, I., Mounoury, V., Jeulin, D. Determination of the size of the representative volume element for random composites: statistical and numerical approach. International Journal of Solids and Structures, 2003, No. 40 (13-14), pp.3647-3679. doi:10.1016/S0020-7683(03)00143-4 Scholar
4.Drugan W.J., Willis J.R. A micromechanics-based nonlocal constitutive equations and estimates of representative volume element size for elastic composites. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1966, No. 44, pp. 497-524. Scholar
5.Pobedrya B.E. Mexanika kompozicionnykh materialov [Composite mechanics]. Moscow: MGU, 1984. Scholar
6.Baxvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie processov v periodicheskikh sredax. Matematicheskie zadachi mexaniki kompozicionnykh materialov [Averaging of processes in periodic media. Mathematical problems of mechanics of composite materials]. Moscow: Nauka, 1984. Scholar
7.Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Razrabotka avtomatiziro-vannoy texnologii vychisleniya effektivnykh uprugikh kharak-teristik kompozitov metodom asimptoticheskogo osredneniya. Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo texnicheskogo universi-teta im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki. [Bulletin of the Moscow State Technical University. N.E. Bauman. Series Natural Sciences], 2008, No. 2 (29), pp. 56-67. Scholar
8.Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Mnogomasshtabnoe modeli-rovanie uprugikh kompozicionnykh materialov Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling], 2012, No. 24(5), pp. 3-20. Scholar
9.Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborshhikov S.V. (2014) Asimptoticheskaya teoriya konstruktivno-ortotropnykh plastin s dvukhperiodicheskoy strukturoy. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody [Mathematical modeling and numerical methods], 1. pp. 36-56. Scholar
10.Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborshhikov S.V. Modelirovanie processa mnogourovnevoj fil’tracii zhidkogo svyazuyushcego v tkanevom kompozite pri RTM-metode izgotovle-niya. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovacii, 2015, No. 12 (48), pp. 6. Scholar
11.Avellaneda R., Rodríguez-Alemán S., Otero J.A. Semi-Analytical Method for Computing Effective Thermoelastic Proper-ties in Fiber-Reinforced Composite Materials. Applied Scienc-es. Materials Science and Engineering, 2021, No. 11(12), pp.5354. doi.org/10.3390/app11125354 Scholar
12.Ma Q., Cui J.Zh. Second-Order Two-Scale Analy-sis Method for the Quasi-Periodic Structure of Composite Materi-als under Condition of Coupled Thermo-Elasticity. Advanced Materi-als Research, 2012, No.629, pp. 160-164. Scholar
13.Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborshhikov S.V. Konechno-elementnoe modelirovanie effektivnykh vyazkoupru-gikh svojstv odnonapravlennykh kompozicionnykh materialov. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody [Mathemat-ical modeling and numerical methods], 2014, No. 2 (2), pp. 28-48. Scholar
14.Dimitrienko Yu.I., Yurin Yu.V., Sborshhikov S.V., Yaxnovskij A.D., Bajmurzin R.R. Modelirovanie effektivnykh yader relaksacii i polzuchesti vyazkouprugikh kompozitov metodom asimptoticheskogo osredneniya. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody [Mathematical modeling and numerical methods], 2020, No.3 (27), pp. 22-46. Scholar
15.Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Sborshhikov S.V., Fedonyuk N.N. Modelirovanie vyazkouprugikh xarakteristik sloisto-voloknistykh polimernykh kompozicionnykh materialov. Nauka i obrazovanie: nauchnoe izdanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and education: scientific edition of MSTU im. N.E. Bau-man], 2014, No.11, pp. 748-770. Scholar
16.Dimitrienko Yu.I., Kashkarov A.I., Makashov A.A. Konechno-elementnyy raschet effektivnykh uprugoplasticheskikh kharakteristik kompozitov na osnove metoda asimptoticheskogo osredneniya. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki [Bulletin of the Moscow State Technical Uni-versity. N.E. Bauman. Series Natural Sciences], 2007, No. 1 (24), pp. 26-46. Scholar
17.Vlasov A.N., Volkov-Bogorodskij D.B. Parametricheskoe usrednenie uravneniy nelineynoy teorii uprugosti i deforma-cionnoy teorii plastichnosti. Proceedings of the Sixth International Conference “Mexanika kompozicionny`x materialov i konstrukcij slozhny`x i geterogenny`x sred”. Moskva,2016, pp. 77-84. Scholar
18.Dimitrienko Yu.I. Modelirovanie nalinejno-uprugikh kharakteristik kompozitov s konechnymi deformaciyami metodom asimptoticheskogo osredneniya. Izvestiya vysshix uchebnyx zavedenij. Mashinostroenie, 2015, No. 11 (668), pp. 68-77. doi: 10.18698/0536–1044–2015–11–68–77 Scholar
19.A.N. Anoshkin, P.V. Pisarev, D.A. Ermakov, et al. Fore-casting effective elastic properties of spatially reinforced compo-site materials applying the local approximation method. AIP Con-ference Proceedings, 2215, 020008; doi.org/10.1063/5.0004078 Scholar
20.Kuimova E.V., Trufanov N.A. Chislennoe prognoziro-vaniye termovyazkouprugikh kharakteristik odnonapravlennogo voloknistogo kompozita s vyazkouprugimi komponentami. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestv-ennonauchnaya seriya, 2009, No. 4(70), pp.129-148. Scholar
21.Yankovskii A.P. A Heuristic approach to the determina-tion of the effective thermal conductivity coefficients of biperiodic composite media. Journal of engineering physics and thermophysics, 2016, No. 89(6). pp. 1574-1581. doi: 10.1007/s10891-016-1528-z Scholar
22.Bezmelnicyn A.V., Sapozhnikov S.B. Mnogomasshtabnoe modeli-rovanie i analiz mexanizma vozniknoveniya tekhnologi-cheskikh mezhslojnykh napryazhenij v tolstostennykh kolczakh iz stekloplastika. Vestnik Permskogo nacionalnogo issledovatelskogo politexnicheskogo universiteta. Mekhanika. [PNRPU Mechanics Bul-letin], 2017, No. 2, pp. 5-22. doi: 10.15593/perm.mech/2017.2.01. Scholar
23.Chen Z., Yang F., Meguid S.A. Multi-level modeling of wo-ven glass/epoxy composite for multilayer printed circuit board applica-tions. International Journal of Solids and Structures, 2014, No.51( 21-22), pp. 3679-3688. doi: 10.1016/J.IJSOLSTR.2014.06.030 Scholar
24.McWilliams B., Dibelka J., Yen C.F. Multi scale model-ing and characterization of in elastic deformation mechanisms in continuous fiber and 2D woven fabric reinforced metal matrix composites. Materials Science & Engineering. Part A, 2014, No. 618, pp. 142-152. doi: 10.1016/J.MSEA.2014.08.063 Scholar
25.Hallal A., Younes R., Fardoun F. Review and comparative study of analytical modeling for the elastic properties of textile composites. Composites. Part B: Engineering. 2013, No.50, pp. 22-31. doi: 10.1016/j.compositesb.2013.01.024 Scholar
26.Kormanikova E., Kotrasova K. Micro-macro modelling of laminated composite rectangular reservoir. Composite Structures. 2022, No.279, 114701. doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.114701 Scholar
27.Sheshenin S.V., Artamonova N.B., Kiselev F.B., Semenov D.M., Volkov L.S., Ming-Hui Fu. Asymptotic Homogenization of Materials with Artificial Periodic Structures. AIP Conference Pro-ceedings, 2020, No. 2216( 1), pp. 070005-1-070005-8. doi: 10.1063/5.0003627 Scholar
28.Heide-Jørgensenab S.,Budzika M.K., Ibsenb C.H. Three-dimensional, multiscale homogenization for hybrid woven composites with fiber-matrix debonding. Composites Science and Technology, 2022, No.218, 109204. doi: 10.1016/j.compscitech.2021.109204 Scholar
29.Sheshenin S.V., Artamonova N.B., Kiselev F.B., Semenov D.M., Volkov L.S., Fu M-H. Asymptotic homogenization of mate-rials with artificial periodic structures. AIP Conference Proceed-ings, 2020, No. 2216, 070005. DOI: 10.1063/5.0003627 Scholar
30.Schneider M., Josien M., Otto F. Representative volume elements for matrix-inclusion composites – a computational study on the effects of an improper treatment of particles intersecting the boundary and the benefits of periodizing the ensemble. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2022, No. 158, 104652. doi: 10.1016/j.jmps.2021.104652 Scholar
31.Song N., Jackson M., Wu S., Souza F. Micromechanical Analysis of Mechanical Response for Unidirectional Fi-ber-Reinforced Plies. Proceedings of the: 5th International Con-gress on 3D materials science. Thematic section” Integrating Ma-terials and Manufacturing Innovation”,2021, No. 10, pp. 542-550. doi: 10.1007/s40192-021-00236-1 Scholar
32.Elmasry A., Azoti W., Elmarakbi M., Elmarakbi A. Inter-action modelling of the thermomechanical behaviour of spatially-oriented graphene platelets (GPLs) reinforced polymer matrix. International Journal of Solids and Structures, 2021, No. 232, 111183. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2021.111183 Scholar
33.Chen Q., Zhao F., Jia J., Zhu Ch, Bai Sh., Ye Y. Multiscale simulation of elastic response and residual stress for ceramic particle reinforced composites. Ceramics International , 2022, No. 48(2), pp. 2431-2440. doi:10.1016/j.ceramint.2021.10.024 Scholar
34.Mekhanika kompozitnykh materialov i elementov konstrukciy: Uchebnoe posobie/ V.M.Pestrenin, I.V. Pestrenina. Perm. un-t.–Perm, 2005, –364p. Scholar

1.Hill R. Elastic properties of reinforced solids: Some theoretical principles // J. Mech. Phys. Solids. – 1963. – Vol. 11, no. 5. – P. 357–372. Scholar
2.Pestrenin V.M., Pestrenina I.V., Landik L.V. Characteristics of Compositions of Unidirectional Short Boron Fibers and Metal Matrices // Mech Compos Mater . – 2020. – Vol.55. – P. 1–14. DOI: 10.1007/s11029-020-09849-7 Scholar
3.Determination of the size of the representative volume element for random composites: statistical and numerical approach / T. Kanit, S. Forest, I. Galliet, V. Mounoury, D. Jeulin // Int. J. Solids Struct. – 2003. – Vol.40, no. (13–14). – P. 3647–3679. DOI: 10.1016/S0020-7683(03)00143-4 Scholar
4.Drugan W.J., Willis J.R. A micromechanics-based nonlocal constitutive equations and estimates of representative volume element size for elastic composites // J. Mech. Phys. Solids. – 1996. – Vol. 44. – P. 497–524. Scholar
5.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 335 с. Scholar
6.Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. – М.: Наука, 1984. – 356 с. Scholar
7.Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Разработка автоматизированной технологии вычисления эффективных упругих характеристик композитов методом асимптотического осреднения // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки. – 2008. – No 2 (29). – С. 56–67. Scholar
8.Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов // Математическое моделирование. – 2012. – Т. 24, No 5. – С. 3–20. Scholar
9.Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой // Математическое моделирование и численные методы. – 2014. – No 1. – С. 36–56. Scholar
10.Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Моделирование процесса многоуровневой фильтрации жидкого связующего в тканевом композите при RTM-методе изготовления // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2015. – No 12 (48). – С. 6. Scholar
11.Rodolfo Avellaneda, Suset Rodríguez-Alemán, José A. Otero Semi-Analytical Method for Computing Effective Thermoelastic Properties in Fiber-Reinforced Composite Materials // Appl. Sci. Materials Science and Engineering. – 2021. – Vol. 11, no. 12. – P. 5354. DOI.org/10.3390/app11125354 Scholar
12.Qiang Ma, Jun Zhi Cui. Second-Order Two-Scale Analysis Method for the Quasi-Periodic Structure of Composite Materials under Condition of Coupled Thermo-Elasticity // Advanced Materials Research. – 2012. – Vol. 629. – P. 160–164. Scholar
13.Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Конечно-элементное моделирование эффективных вязкоупругих свойств однонаправленных композиционных материалов // Математическое моделирование и численные методы. – 2014. – No 2 (2). – С. 28–48. Scholar
14.Моделирование эффективных ядер релаксации и ползучести вязкоупругих композитов методом асимптотического осреднения / Ю.И. Димитриенко, Ю.В. Юрин, С.В. Сборщиков, А.Д. Яхновский, Р.Р. Баймурзин // Математическое моделирование и численные методы. – 2020. – No 3 (27). – С. 22–46. Scholar
15.Моделирование вязкоупругих характеристик слоисто-волокнистых полимерных композиционных материалов / Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, С.В. борщиков, Н.Н. Федонюк // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2014. – No 11. – С. 748–770. Scholar
16.Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Макашов А.А. Конечно-элементный расчет эффективных упругопластических характеристик композитов на основе метода асимптотического осреднения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки. – 2007. – No 1 (24). – С. 26–46. Scholar
17.Власов А.Н., Волков-Богородский Д.Б. Параметрическое усреднение уравнений нелинейной теории упругости и деформационной теории пластичности // Механика композиционных материалов и конструкций сложных и гетерогенных сред: сб. трудов 6-й всероссийской научной конференции с международным участием. – М., 2017. – С. 77–84. Scholar
18.Димитриенко Ю.И. Моделирование налинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями методом асимптотического осреднения // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. – 2015. – No 11 (668). – С. 68–77. DOI: 10.18698/0536–1044–2015–11–68–77 Scholar
19.Forecasting effective elastic properties of spatially reinforced composite materials applying the local approximation method / A.N. Anoshkin, P.V. Pisarev, D.A. Ermakov [et al.] // AIP Conference Proceedings. – 2020. – Vol. 2216. – 020008 DOI.org/10.1063/5.0004078 Scholar
20.Куимова Е.В., Труфанов Н.А. Численное прогнозирование термовязкоупругих характеристик однонаправленного волокнистого композита с вязкоупругими компонентами // Вестник Сам.ГУ. Естественнонаучная серия. – 2009. – No 4(70). – С. 129–148. Scholar
21.Yankovskii A.P. A Heuristic approach to the determination of the effective thermal conductivity coefficients of biperiodic composite media // J. of engineering physics and thermophysics. – 2016. – Vol. 89, no. 6. – P. 1574–1581. DOI: 10.1007/s10891-016-1528-z Scholar
22.Безмельницын А.В., Сапожников С.Б. Многомасштабное моделирование и анализ механизма возникновения технологических межслойных напряжений в толстостенных кольцах из стеклопластика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – No 2. – С. 5–22. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.01 Scholar
23.Chen Z., Yang F., Meguid S.A. Multi-level modeling of woven glass/epoxy composite for multilayer printed circuit board applications // International Journal of Solids and Structures. – 2014. – Vol. 51, no. 21–22. – P. 3679–3688. DOI: 10.1016/J.IJSOLSTR.2014.06.030 Scholar
24.McWilliams B., Dibelka J., Yen C.F. Multi scale modeling and characterization of in elastic deformation mechanisms in continuous fiber and 2D woven fabric reinforced metal matrix composites // Materials Science & Engineering A. – 2014. – Vol. 618. – P. 142–152. DOI: 10.1016/J.MSEA.2014.08.063 Scholar
25.Hallal A., Younes R., Fardoun F. Review and comparative study of analytical modeling for the elastic properties of textile composites // Composites Part B: Engineering. – 2013. – Vol. 50. – P. 22–31. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.01.024 Scholar
26.Kormanikova E., Kotrasova K. Micro-macro modelling of laminated composite rectangular reservoir Composite Structures. – 2022. – Vol. 279. – P. 114701. DOI: 10.1016/j.compstruct.2021.114701 Scholar
27.Asymptotic Homogenization of Materials with Artificial Periodic Structures / S.V. Sheshenin, N.B. Artamonova, F.B. Kiselev, D.M. Semenov, L.S. Volkov, Fu. Ming-Hui // AIP Conference Proceedings. – 2020. – Vol. 2216, no. 1. – P. 070005-1-070005-8. DOI: 10.1063/5.0003627 Scholar
28.Heide-Jørgensenab S.K., Budzika M., Ibsenb C.H. Three-dimensional, multiscale homogenization for hybrid woven composites with fiber-matrix debonding // Composites Science and Technology. – 2022. – Vol. 218, no. 8. – P. 109204. DOI: 10.1016/j.compscitech.2021.109204 Scholar
29.Asymptotic homogenization of materials with artificial periodic structures / S.V. Sheshenin, N.B. Artamonova, F.B. Kiselev, D.M. Semenov, L.V. Volkov // AIP Conference Proceedings. – 2020. – Vol. 2216. – 070005. DOI: 10.1063/5.0003627 Scholar
30.Schneider M., Josien M., Otto F. Representative volume elements for matrix-inclusion composites – a computational study on the effects of an improper treatment of particles intersecting the boundary and the benefits of periodizing the ensemble// Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2022. – Vol. 158. – P. 104652. DOI: 10.1016/j.jmps.2021.104652 Scholar
31.Micromechanical Analysis of Mechanical Response for Unidirectional Fiber-Reinforced Plies / N. Song, M. Jackson, Sh. Wu, F. Souza // Thematic section: 5th International Congress on 3D materials science. Integrating Materials and Manufacturing Innovation. – 2021. – P. 10:542-550. DOI: 10.1007/s40192-021-00236-1 Scholar
32.Interaction modelling of the thermomechanical behaviour of spatially-oriented graphene platelets (GPLs) reinforced polymer matrix / A. Elmasry, W. Azoti, M. Elmarakbi, A. Elmarakbi // International Journal of Solids and Structures. – 2021. – Vol. 232. – P. 111183. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2021.111183 Scholar
33.Multiscale simulation of elastic response and residual stress for ceramic particle reinforced composites / Q. Chen, F. Zhao, J. Jia, Ch. Zhu, Sh. Bai, Y. Ye // Ceramics International. – 2022. – Vol. 48, no. 2. – P. 2431–2440. DOI: 10.1016/j.ceramint.2021.10.024 Scholar
34.Пестренин В.М., Пестренина И.В. Механика композитных материалов и элементов конструкций: учебное пособие. – Пермь, 2005. – 364 с. Scholar

Article information

Published: 29 May 2023
Issue date: 29 May 2023
Issue: No. 1 (2023)