Spectral dynamic stiffness method for the flutter problem of combined plates

S.O. Papkov, Y.I. Papkova, V.A. Pasechnik

Author details

S.O. Papkov
Sevastopol State University, Sevastopol, Russian Federation
Y.I. Papkova
Sevastopol State University, Sevastopol, Russian Federation
V.A. Pasechnik
Sevastopol State University, Sevastopol, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.1.09

At present time, the spectral dynamic stiffness method is being actively developed as an alternative to the finite element method for vibration and stability problems of composite structures from beams, rods, plates and shells. This approach, based on exact solutions of governing differential equations, makes it possible to more effectively study the problem in the medium and high frequency ranges, and gives analytical expressions for natural modes. It is proposed to use the advantages of this method to study the problems of dynamic stability and flutter of an orthotropic composite plate in a supersonic gas flow. Using the linear approximation of piston theory, solution of the problem is investigated according to the Galerkin method on the basis of the eigenforms of a composite plate in vacuum. According to this approach the boundary value problem is reduced to a homogeneous infinite linear algebraic system of equations with coefficients are depending from physical-mechanical and geometrical parameters of the problem. The frequency parameter is included in the system linearly, that allows us to reduce eigenproblem for infinite system to the problem of determining the eigenvalues and vectors of a matrix. The convergence of the Galerkin method depending on the number of basis functions is studied numerically. It is shown that the first 16 eigenforms provide the good convergence of the method. Examples of numerical implementation are given, obtained solution allow us to study the dependence of the critical velocity from the properties of the material and geometry of the combined plate.

Keywords

composite orthotropic platenatural frequencyflutterspectral dynamic stiffness methodGalerkin method

МЕТОД СПЕКТРАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЖЕСТКОСТИ В ЗАДАЧАХ ФЛАТТЕРА СОСТАВНЫХ ПЛАСТИН

В настоящее время метод спектральной динамической жесткости активно развивается как альтернатива методу конечных элементов для исследования задач колебания и устойчивости составных конструкций из балок, стержней, пластин и оболочек. Данный подход, основанный на точных решениях разрешающих дифференциальных уравнений, позволяет более эффективно исследовать задачу в среднем и высоком диапазоне частот, дает аналитические выражения для собственных форм колебаний. Предлагается использовать преимущества данного метода для исследования проблемы динамической устойчивости и флаттера ортотропной составной пластины в сверхзвуковом потоке газа. Используя приближение поршневой теории, решение краевой задачи ищется согласно методу Галеркина по базису из собственных форм составной пластины в вакууме, которые, в свою очередь, строятся на основе метода спектральной динамической жесткости. Следуя данному подходу, краевая задача сводится к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от физико-механических и геометрических параметров. Частотный параметр задачи входит в систему линейно, что при редукции бесконечной системы позволяет свести ее исследование к проблеме определения собственных чисел и векторов. Численно исследована сходимость метода Галеркина в зависимости от количества базисных функций. Показано, что удержание в расчетах первых 16 собственных форм в качестве базисных функций оказывается достаточным для обеспечения сходимости метода. Приведены примеры численной реализации, на основе полученного решения проводились исследования зависимости критической скорости потери устойчивости от свойств материала составной пластины и ее геометрии.

Ключевые слова

составная ортотропная пластинасобственные частотыфлаттерметод спектральной динамической жесткостиметод Галеркина

Bibliography

1.Bolotin V.V. Nekonservativnyye zadachi teorii uprugoy ustoychivosti [Non-conservative problems of the theory of elastic stability]. – M.: Gos. izd. fiz.- mat. literatury, 1961. – 341 s. Scholar
2.Kiyko I.A, Algozin S.D. Flatter plastin i obolochek [Flutter of [plates and shells]. – M.: Nauka, 2006. – 248 s. Scholar
3.Movchan A. A. O kolebaniyakh plastinki, dvizhushcheysya v gaze [Vibrations of a plate moving in a gas] // Prikl. matematika i mekhanika. 1957. T. 20, vyp. 2. S. 221–222. Scholar
4.Dowell, E. H. Aeroelasticity of Plates and Shells. – Spring-er Science+Business Media B.V. 1975. – 139 p. Scholar
5.Volʹmir A.S. Ustoychivostʹ deformiruyemykh sistem [Sta-bility of deformable systems]. – M.: Nauka, 1967. – 984 s. Scholar
6.Goland M., Luke I.L. An exact solution for two-dimensional linear panel flutter at supersonic speeds // Journal Aeronautic Science. – 1954. – Vol. 21, N 4. – P. 275-276. Scholar
7.Belubekyan M.V., Martirosyan S.R. Ob odnoy zadache dinamicheskoy ustoychivosti pryamougolʹnoy plastiny v sverkhzvukovom potoke gaza [On one problem of dynamic stability of a rectangular plate in a supersonic gas flow] // Doklady natsionalʹnoy akademii nauk Armenii. – 2014. T. 114, No3. S. 213 -221. Scholar
8.Olson, M. D. Some Flutter Solutions Using Finite Element // AIAA Journal. – 1970. – 8(4). – P. 747–752. Scholar
9.Yang T., Han A. D. Flutter of thermally buckled finite ele-ment panels // AIAA Journal. – 1976.- 14(7) – P. 975–977. Scholar
10.Prakash T., M. Ganapathi. Supersonic flutter characteris-tics of functionally graded at panels including thermal effects // Composite Structures. – 2006. – 72(1) – P. 10–18 Scholar
11.Librescu L., Marzocca P., Silva W. A. Superson-ic/hypersonic flutter and post flutter of geometrically imperfect circular cylindrical panels // Journal Spacecraft Rockets. – 2002. – 39(5) – P. 802–812. Scholar
12.Singha M. K., Mandal M. Supersonic flutter characteristics of composite cylindrical panels // Composite Structures. – 2008.- 82. – P. 295–301. Scholar
13.Bismarck-Nasr M. N., Bones C. A. Damping effects in nonlinear panel flutter // AIAA Journal. – 2000. – 38. – P. 711–713. Scholar
14.Song Z. G., Li F. M. Aerothermoelastic analysis of non-linear composite laminated panel with aerodynamic heating in hyper-sonic flow // Composites. – 2014. – Part B. – P. 56 830–839. Scholar
15.Mei G., Zhang J., Xi G., Sun X., Chen J. Analysis of Supersonic and Transonic Panel Flutter Using a Fluid-Structure Coupling Algorithm // Journal Vibration and Acousic.- 2014. -136(3). – 031013. Scholar
16.Barinova K.I., Dolgopolov A.V., Orlova O.A., Pronin M.A. Theanalysis of flutter characteristics based on generalized parameters of eigen modes of vibrations // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2021. – no. 1. – P. 95-102. Scholar
17.Algozin S.D., Kiyko I. A. Chislennoye issledovaniye flattera pryamougolʹnoy plastiny [Numerical study of the flutter of a rectangular plate]// Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2003. T. 44, n◦4 S. 35-44. Scholar
18.Kudryavtsev B.YU. Flatter plastiny peremennoy tolshchiny [Flutter of a plate of variable thickness] // Izvestiya MGTU MAMI. – 2012. No1 (13). S. 249-255. Scholar
19.Valyayev V.I. Ob opredelenii granitsy panelʹnogo flattera vertikalʹnoy stenki toplivnogo baka metodom zadannykh form [On the determination of the boundary of the panel flutter of the vertical wall of the fuel tank by the method of given forms] // Uchenyye zapiski TSAGI. 1983. T. XIV No5. S. 114-118. Scholar
20.Beloiu D.M., Ibrahim R.A., Pettit C.L. Influence of boundary conditions relaxation on panel flutter with compressive in-plane load // Journal of Fluids and Structures. – 2005. – 21.- P. 743–767. Scholar
21.Chen J., La Q.S. Analysis of Flutter and Nonlinear Dy-namics of a Composite Laminated Plate // International Journal of Structural Stability and Dynamics. – 2016. – Vol. 16 – 1550019 (20 pages). Scholar
22.Papkov S.O. Flatter zashchemlennoy ortotropnoy pryamougolʹnoy plastiny [Flutter of a clamped orthotropic rectan-gular plate]// Vychislitelʹnaya mekhanika sploshnykh sred. 2017. T.10, No4. S. 361-374. Scholar
23.Wittrick W H, Williams F W. Buckling and vibration of anisotropic or isotropic plate assemblies under combined load-ings // International Journal of Mechanical Sciences. – 1974. – 16(4). – P. 209–239. Scholar
24.Banerjee J.R., Papkov S.O., Liu X., Kennedy D.. Dynamic stiffness matrix of a rectangular plate for the general case // Jour-nal of Sound and Vibration. – 2015. – 342. – P. 177-199. Scholar
25.Langley R S. A dynamic stiffness technique for the vibra-tion analysis of stiffened shell structures // Journal of Sound and Vibration.- 1992. – 156(3). – P. 521–540. Scholar
26.Liu X., Li Y., Lin Y., Banerjee J. R. Spectral dynamic stiffness theory for free vibration analysis of plate structures stiff-ened by beams with arbitrary cross-sections // Thin-Walled Struc-tures.- 2021. – 160. – P. 107391. Scholar
27.Papkov S.O. New analytical solutions for vibration prob-lem of thick plates // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2019. – no. 4. – P. 145-156. Scholar
28.Prudnikov A.P., Brychkov Yu. A., Marichev O.I. Integraly i ryady [Integrals and series], Moskow, Nauka, 1985, 800 p. Scholar
29.Bismarck-Nasr M.N. Finite element analysis of aeroelasticity of plates and shells // Appl. Mech Rev. – 1992. – vol. 42. no 12, part 1.- P. 461- 482. Scholar
30.Algazin S.D., Kiyko I.A. Chislenno – analiticheskoye issledovaniye flattera pla-stiny proizvolʹnoy formy v plane [Nu-merical – analytical study of the flutter of a plate of arbitrary shape in plan]// Prikl. matematika i mekhanika. 1997. T. 60, vyp. 1. S. 171 – 174. Scholar

1.Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1961. – 341 с. Scholar
2.Кийко И.А., Алгозин С.Д. Флаттер пластин и оболочек. – М.: Наука, 2006. – 248 с. Scholar
3.Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // Прикл. математика и механика. – 1957. – Т. 20, вып. 2. – С. 221–222. Scholar
4.Dowell E.H. Aeroelasticity of Plates and Shells. – Springer Science+Business Media B.V. 1975. – 139 p. Scholar
5.Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. – 984 с. Scholar
6.Goland M., Luke I.L. An exact solution for two-dimensional linear panel flutter at supersonic speeds // Journal Aeronautic Science. – 1954. – Vol. 21, no. 4. – P. 275–276. Scholar
7.Белубекян М.В., Мартиросян С.Р. Об одной задаче динамической устойчивости прямоугольной пластины в сверхзвуковом потоке газа // Доклады национальной академии наук Армении. – 2014. – Т. 114, No 3. – С. 213–221. Scholar
8.Olson M.D. Some Flutter Solutions Using Finite Element // AIAA Journal. – 1970. – Vol. 8(4). – P. 747–752. Scholar
9.Yang T., Han A.D. Flutter of thermally buckled finite element panels // AIAA Journal. – 1976. – Vol. 14(7). – P. 975–977. Scholar
10.Prakash T., Ganapathi M. Supersonic flutter characteristics of functionally graded at panels including thermal effects // Composite Structures. – 2006. – Vol. 72(1). – P. 10–18. Scholar
11.Librescu L., Marzocca P., Silva W.A. Supersonic/hypersonic flutter and post flutter of geometrically imperfect circular cylindrical panels // Journal Spacecraft Rockets. – 2002. – Vol. 39(5). – P. 802–812. Scholar
12.Singha M.K., Mandal M. Supersonic flutter characteristics of composite cylindrical panels // Composite Structures. – 2008. – Vol. 82. – P. 295–301. Scholar
13.Bismarck-Nasr M.N., Bones C.A. Damping effects in nonlinear panel flutter // AIAA Journal. – 2000. – Vol. 38. – P. 711–713. Scholar
14.Song Z.G., Li F.M. Aerothermoelastic analysis of nonlinear composite laminated panel with aerodynamic heating in hypersonic flow // Composites. – 2014. – Part B. – P. 56 830–839. Scholar
15.Analysis of Supersonic and Transonic Panel Flutter Using a Fluid-Structure Coupling Algorithm / G. Mei, J. Zhang, G. Xi, X. Sun, J. Chen // Journal Vibration and Acousic. - 2014. – Vol. 136(3). – 031013. Scholar
16.Анализ флаттерных характеристик на основе обобщенных параметров собственных тонов колебаний / К.И. Баринова, А.В. Долгополов О.А., Орлова, М.А. Пронин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – No 1. – С. 95–102. Scholar
17.Алгозин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // Прикладная механика и техническая физика. – 2003. - Т. 44, No 4 – С. 35–44. Scholar
18.Кудрявцев Б.Ю. Флаттер пластины переменной толщины // Известия МГТУ МАМИ. – 2012. – No 1 (13). – С. 249–255. Scholar
19.Валяев В.И. Об определении границы панельного флаттера вертикальной стенки топливного бака методом заданных форм // Ученые записки ЦАГИ. – 1983. – Т. XIV, No 5. – С. 114–118. Scholar
20.Beloiu D.M., Ibrahim R.A., Pettit C.L. Influence of boundary conditions relaxation on panel flutter with compressive in-plane load // Journal of Fluids and Structures. – 2005. – Vol. 21. - P. 743–767. Scholar
21.Chen J., La Q.S. Analysis of Flutter and Nonlinear Dynamics of a Composite Laminated Plate // International Journal of Structural Stability and Dynamics. – 2016. – Vol. 16. – 1550019 (20 pages). Scholar
22.Папков С.О. Флаттер защемленной ортотропной прямоугольной пластины // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, No 4.- С. 361–374. Scholar
23.Wittrick W.H., Williams F.W. Buckling and vibration of anisotropic or isotropic plate assemblies under combined loadings // International Journal of Mechanical Sciences. – 1974. – Vol. 16(4). – P. 209–239. Scholar
24.Dynamic stiffness matrix of a rectangular plate for the general case / J.R. Banerjee, S.O. Papkov, X. Liu, D. Kennedy // Journal of Sound and Vibration. – 2015. – Vol. 342. – P. 177–199. Scholar
25.Langley R.S. A dynamic stiffness technique for the vibration analysis of stiffened shell structures // Journal of Sound and Vibration. - 1992. – Vol. 156(3). – P. 521–540. Scholar
26.Spectral dynamic stiffness theory for free vibration analysis of plate structures stiffened by beams with arbitrary cross-sections / X. Liu, Y. Li, Y. Lin, J.R. Banerjee // Thin-Walled Structures.- 2021. – Vol. 160. – P. 107391. Scholar
27.Папков С.О. Новые аналитические решения для задач колебания толстых пластин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2019. – No 4. – С. 145–156. Scholar
28.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. – 800 с. Scholar
29.Bismarck-Nasr M.N. Finite element analysis of aeroelasticity of plates and shells // Appl. Mech Rev. – 1992. – Vol. 42, no. 12, part 1. - P. 461–482. Scholar
30.Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно – аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // Прикл. математика и механика. – 1997. – Т. 60, вып. 1. – С. 171–174. Scholar

Article information

Published: 29 May 2023
Issue date: 29 May 2023
Issue: No. 1 (2023)