Optimisation of the first natural frequency for heterogeneous circular plates

A research study was carried out on the spectral problem of maximizing the first natural frequency of a heterogeneous elastic and viscoelastic circular plate with variable stiffness under various edge fixation conditions. The mechanical elastic or viscoelastic properties of the material are used as control functions. Viscoelastic properties are taken into account within the framework of the complex modulus principle. Several approaches to solving the spectral optimization problem are considered: analytical, semi-analytical and numerical schemes. In the model problem for a circular plate hinged at the edge, an analytical solution is obtained – the optimal distribution of viscoelastic modules-long-term and instantaneous modules, taking into account the condition for the average distribution of the plate stiffness over the volume. The Rayleigh ratio was constructed, as well as a generalized functional based on the Lagrange multiplier method, taking into account the additional condition. The optimality condition was found, which consists in the constancy of the energy characteristic. In the case of a circular plate stiffly fixed at the edge, a numerical scheme for optimal control of material characteristics in the class of polynomials is proposed to find the optimal distribution of complex modules, taking into account their positivity and evenness properties. The proposed scheme is based on the Galerkin method and the least squares method for determining the coefficients of the polynomial expansion of control functions. A numerical scheme for solving the spectral problem of finding the coefficients of the polynomial expansion of control functions is also proposed, which launches a heuristic search for the corresponding parameters. Calculations were performed for each of the proposed schemes for solving optimization problems. The limits of applicability, disadvantages and advantages of each approach were identified. A comparative analysis of the results was performed using model problems as examples.

ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН

Проведено исследование спектральной задачи максимизации первой собственной частоты неоднородной упругой и вязкоупругой круглой пластинки переменной жесткости при различных условиях закрепления края. В качестве управляющих функций выступают механические упругие или вязкоупругие свойства материала. Вязкоупругие свойства учитываются в рамках принципа соответствия. Рассмотрены несколько подходов к решению спектральной оптимизационной задачи: аналитические, полуаналитические и численные схемы. В модельной задаче для круглой пластинки, шарнирно опертой по краю, получено аналитическое решение – оптимальное распределение вязкоупругих модулей – длительного и мгновенного модулей, с учетом условия на среднее распределение жесткости пластинки по объему. Построено соотношение Релея, а также обобщенный функционал на базе метода множителей Лагранжа, учитывающий дополнительное условие. Найдено условие оптимальности, которое состоит в постоянстве энергетической характеристики. В случае круглой пластинки, жестко закрепленной по краю, для нахождения оптимального распределения комплексных модулей предложена численная схема оптимального управления характеристиками материала в классе полиномов, с учетом их свойств положительности и четности. В основе предлагаемой схемы лежит метод Галеркина и метод наименьших квадратов для определения коэффициентов полиномиального разложения управляющих функций. Предложена также численная схема решения спектральной задачи поиска коэффициентов полиномиального разложения управляющих функций, которая запускает эвристический поиск соответствующих параметров. Проведены расчеты по каждой из предлагаемых схем решения задач оптимизации. Выявлены недостатки и преимущества каждого подхода. Проведен сравнительный анализ результатов на примере модельных задач.