BERNOULLI HYPOTHESES IN THE PROBLEM OF BENDING A MECHANICALLY INCOMPRESSIBLE BEAM

Author details

V.V. Firsanov
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.4.12

The incompressibility condition for an isotropic linearly elastic material seriously restricts the application of the classical hypotheses of the beam bending theory formulated by Bernoulli for small deformations and displacements. At the same time, it is assumed that such a strong kinematic condition as the condition of immutability of volume must be unconditionally fulfilled. The term “mechanical incompressibility” implies the impact on the beam exclusively of a force load, but with thermal action on it, the deformation of the volume change is a function of temperature. Nevertheless, in both of these cases, the condition of mechanical incompressibility may conflict with the classical hypotheses of beam bending, which may lead to the problem degeneration. Therefore, before solving any problem for mechanically incompressible materials, it is necessary to check all hypotheses used and sufficiently justified for conventional materials for compliance with the kinematic condition of volume immutability. In case of inconsistency, it is necessary to build a calculation model based on other hypotheses that do not contradict incompressibility, which will not lead to a serious complication of the tasks being solved. For a bent beam, the Bernoulli model is used, the basis of which is the kinematic hypothesis of a straight normal (the transverse segment after deformation remains straight, orthogonal to the curved axis of the beam and the distances between the points of the segment remain unchanged) and the force hypothesis of the non-compressibility of the beam fibers in the transverse direction. Each of the above hypotheses should be checked for compliance with the condition of immutability of the beam volume when exposed to the surface force bending load. The consideration of transverse deformations is relevant for low-modulus materials and especially for materials with a low shear modulus in the transverse direction. Incompressible materials, as a rule, belong to low-modulus, but this is not their property that is decisive in the analysis of Bernoulli hypotheses.

Keywords

hypothesesbendingbeamdeformationsstresseselastic displacementsmechanical incompressibilityequilibrium equationsphysical relationsboundary conditions.

ГИПОТЕЗЫ БЕРНУЛЛИ В ЗАДАЧЕ ИЗГИБА МЕХАНИЧЕСКИ НЕСЖИМАЕМОЙ БАЛКИ

Условие несжимаемости для изотропного линейно упругого материала серьезно ограничивает применение классических гипотез теории изгиба балок, сформулированных Бернулли для малых деформаций и перемещений. При этом принимается, что такое сильное кинематическое условие, как условие неизменяемости объема, должно, безусловно, выполняться. Термин «механическая несжимаемость» подразумевает воздействие на балку исключительно силовой нагрузки, но при тепловом на неё воздействии деформация изменения объёма является функцией температуры. Тем не менее в обоих этих случаях условие механической несжимаемости может быть конфликтным по отношению к классическим гипотезам изгиба балки, что может привести к вырождению задачи. Поэтому перед решением любой задачи для механически несжимаемых материалов необходимо все используемые и достаточно обоснованные для обычных материалов гипотезы проверить на предмет соответствия кинематическому условию неизменяемости объёма. В случае несоответствия необходимо построить модель расчёта, основанную на других, не противоречащих несжимаемости гипотезах, которые не приведут к серьёзному усложнению решаемых задач. Для изгибаемой балки используется модель Бернулли, основой которой являются кинематическая гипотеза прямой нормали (поперечный отрезок после деформации остаётся прямым, плоским, ортогональным к изогнутой оси балки, а расстояния между точками отрезка остаются неизменными) и силовая гипотеза ненадавливаемости волокон балки в поперечном направлении. Каждая из перечисленных гипотез должна быть проверена на предмет соответствия условию неизменяемости объёма балки при воздействии на неё поверхностной силовой изгибающей нагрузки. Учёт поперечных деформаций актуален для низкомодульных материалов и особенно для материалов с низким сдвиговым модулем в поперечном направлении. Несжимаемые материалы, как правило, относятся к низкомодульным, но не это их свойство является определяющим при анализе гипотез Бернулли.

Ключевые слова

гипотезыизгиббалкадеформациинапряженияупругие перемещениямеханическая несжимаемостьуравнения равновесияфизические соотношенияграничные условия.

Bibliography

1.Timoshenko S. P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. – Phil. Mag. – 1921. – Vol. 41. – pp. 744-746. doi:10.1080/14786442108636264 Scholar
2.Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. J. Appl. Mech., 1945, Vol.12, pp.69-77. doi:10.1115/1.4009435 Scholar
3.Ambarcumyan S.A Teoriya anizotropnyh plastin [Theory of anisotropic plates]. – M., Nauka. – 1987. – 360 p Scholar
4.Vasil'ev V.V. O teorii tonkih plastin [On the theory of thin plates] // Izv. RAN. MTT. –1992.– No. 3.– pp. 26-47. Scholar
5.ZHilin P.A. O teoriyah plastin Puassona i Kirhgofa s pozicij sovremennoj teorii plastin [On the theories of Poisson and Kirchhoff plates from the standpoint of modern plate theory] // Izv. AN MTT. –1992.– No. 3.– pp. 48-64. Scholar
6.Vasil'ev V.V. Klassicheskaya teoriya plastin – istoriya i sovremennyj analiz [Classical theory of plates – history and modern analysis] // Izv. AN. MTT. – 1998. – No. 3.– pp. 46-58. Scholar
7.Carrera E., Giunta G., Petrolo M. Beam Structures: Classical and Advanced Theories. –Wiley. – 2011. – 204 p Scholar
8.Dimitrienko YU.I., Gubareva E.A., Kol'zhanov D.YU., Karimov S.B. Modelirovanie neszhimaemyh sloistyh kompozitov s konechnymi deformaciyami na osnove metoda asimptoticheskogo osredneniya [Modeling of incompressible layered composites with finite deformations based on the method of asymptotic averaging] // Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody. – 2017. – No. 1. – C.32-54. doi: 10.18698/2309-3684-2017-1-3254 Scholar
9.Firsanov V.V. Izgib balki, vypolnennoj iz materiala s neizmeynaemym ob”yomom [Bending beams made of a material with an unchangeable volume]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii. – 2020. – Vol.26. – No. 2. – p.200-211. doi: 10.33113/MKMK.RAS.2020.26.02.200_211.04 Scholar
10.Pobedrya B.E. Equations of state of viscoelastic isotropic media // Mechanics of Composite Materials. – 1967. – Vol.3. – Iss. 4. – pp. 429-432. doi: https://doi.org/10.1007/BF01150958 Scholar
11.Treloar L.R.G. The Physics of Rubber Elasticity. – OUP Oxford. – 2005. –324 p. Scholar
12.Kozlov V.V. Analiz opredelyayushchih sootnoshenij izotropnyh uprugih neszhimaemyh materialov [Analysis of the determining ratios of isotropic elastic incompressible materials]. // Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. – 2011. – Issue 3. – pp.93-101. Scholar
13.Lazarev M.I. Reshenie osnovnyh zadach teorii uprugosti dlya neszhimaemyh sred [Solving the main problems of elasticity theory for incompressible media] // Prikladnaya matematika i mekhanika. – 1980. – T. 44. – № 5. – S. 867-874. Scholar
14.Stepanyan S.Pa. On the numerical solution to a non-classical problem of bending and stability for an orthotropic beam of variable thickness // Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. – 2021. – № 73. – C. 111-120. doi: 10/17223/19988621/73/10. Scholar
15.Solyaev Yu.O., Lur'e S.A., Volkov A.V. Chislennoe reshenie zadachi chistogo izgiba balki v ramkah dilatacionnoj teorii uprugosti [Numerical solution of the problem of pure beam bending in the framework of the dilation theory of elasticity] // Vychislitel'naya mekhanika sploshnyh sred. – 2017. – T. 10. – № 2. – S. 137-152. doi: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.1 Scholar
16.Kaplunov, Izuru Takewaki Modern Trends in Structural and Solid Mechanics 1: Statics and Stability.– Noël Challamel, Julius, John Wiley and Sons. – 2021 – 266 p Scholar
17.Hardy H. Engineering Elasticity: Elasticity with less Stress and Strain– Springer. – 2022. — 275 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-031-09157-5 Scholar
18.Herakovich C.T. A Concise Introduction to Elastic Solids: An Overview of the Mechanics of Elastic Materials and Structures. – Springer–2017. – 136 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-319-45602-7 Scholar
19.Bogachev I.V. Sovmestnaya identifikaciya mekhanicheskih harakteristik funkcional'no gradientnyh plastin v ramkah modelej Kirhgofa i Timoshenko [ Joint identification of mechanical characteristics of functionally gradient plates within the framework of the Kirchhoff and Timoshenko models] // Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika. – 2021. – № 4. – S. 19-29. doi: 10.15593/pem.mech/2021.4.03 Scholar
20.Zubov L.M. Universal'nye resheniya dlya izotropnyh neszhimaemyh mikropolyarnyh tel [Universal solutions for isotropic incompressible micropolar bodies] // Doklady Akademii Nauk. – 2010. – Tom 435 – №1. — S 35-39. Scholar
21.Sashchenko M.A., Pavlov D.A., Zhigalov M.V. Sravnitel'nyj analiz matematicheskih modelej balok Bernoulli – Ejlera, Timoshenko, Sheremet'eva – Pelekha, Akavchi, Tuarat'e na primere kontaktnoj zadachi [Comparative analysis of mathematical models of Bernoulli -Euler, Timoshenko, Sheremetyev – Pelekh, Akavchi, Tuaratter beams on the example of a contact problem] // Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. – 2022.– №1 (92) – S. 36-48. Scholar
22.Altenbach H., Bauer S., Eremeyev V.A., Mikhasev G.I., Morozov N.F. Recent Approaches in the Theory of Plates and Plate-Like Structures. – Springer, Switzerland. –2022– 326 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-030-87185-7 Scholar
23.Bhaskar K., Varadan T. Plates: Theories and Applications. – Springer – 2021. – 278 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-030-69424-1 Scholar
24.Eslami M.R. Buckling and Postbuckling of Beams, Plates, and Shells. – Springer. – 2017. – 588 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-319-62368-9 Scholar
25.Sagdatullin M.K. Raschyot konstrukcij iz neszhimaemyh materialov // V Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta. – 2021.– Tom 24. – № 2. – S.79-82 Scholar
26.V.A. Levin, A.V. Vershinin, K.M. Zingerman, D.R. Biryukov. Tochnoe reshenie zadachi o poetapnoj deformacii mnogoslojnogo cilindra iz neszhimaemogo gipouprugogo materiala [Exact solution of the problem of step-by-step deformation of a multilayer cylinder made of incompressible hypo-elastic material] // Chebyshevskij sbornik.– Tula – 2022 – №4 (85) – Tom XXIII. – S.262-272. doi: 1022405/2226-8383=2022-23-44-262-271 Scholar
27.Jones R.M. Buckling of Bars, Plates, and Shells. – Bull Ridge Corporation. –2006. – 824 p. Scholar
28.Vijayakumar K., Ramaiah G.K. Poisson Theory of Elastic Plates. – Springer. – 2021. – 149 p. Scholar
29.B Mukherjee, DA Dillard. On buckling of a thin plate on an elastomeric foundation // International Journal of Mechanical Sciences. – Elsevier – 2018 –Volume 149 – pp. 429-435. doi: 10/1016/j.ijmecsci.2017.10.015 Scholar
30.Firsanov V.V. Izigib kompozitnoj balki s uchyotom sdivigovoj deformacii [Bending of a composite beam taking into account shear deformation] // Izvestiya TulGU Tekhnicheskie nauki –2018.– Vyp. 4. – S. 168-174. Scholar
31.Firsanov V.V. Modelirovanie izgiba balok iz rezinopodobnyh materialov [Modeling the bending of beams made of rubber-like materials]. // Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody. – 2021. – № 4.– S. 3–16. doi: 10.18698/2309-3684-2021-4-316. Scholar

1.Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Phil. Mag. – 1921. – Vol. 41. – P. 744–746. DOI: 10.1080/14786442108636264 Scholar
2.Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. – 1945. – Vol. 12, iss. 2. – P. 69–77. DOI: 10.1115/1.4009435 Scholar
3.Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1987. – 360 с. Scholar
4.Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 26–47. Scholar
5.Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. АН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 48–64. Scholar
6.Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. – 1998. – № 3. – С. 46–58. Scholar
7.Carrera E., Giunta G., Petrolo M. Beam Structures: Classical and Advanced Theories. –Wiley, 2011 – 204 p. Scholar
8.Моделирование несжимаемых слоистых композитов с конечными деформациями на основе метода асимптотического осреднения / Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанов, С.Б. Каримов // Математическое моделирование и численные методы. – 2017. – № 1. – С. 32–54. DOI: 10.18698/2309- 3684-2017-1-3254 Scholar
9.Фирсанов В.В. Изгиб балки, выполненной из материала с неизменяемым объёмом // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2020. – Т. 26, № 2. – С. 200–211. DOI: 10.33113/MKMK.RAS.2020.26.02.200_211.04 Scholar
10.Pobedrya B.E. Equations of state of viscoelastic isotropic media // Mechanics of Composite Materials. – 1967. – Vol. 3, iss. 4. – P. 429–432. DOI: 10.1007/BF01150958 Scholar
11.Treloar L.R.G. The Physics of Rubber Elasticity. – OUP Oxford, 2005. – 324 p. Scholar
12.Козлов В.В. Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. – 2011. – Вып. 3. – С. 93–101. Scholar
13.Лазарев М.И. Решение основных задач теории упругости для несжимаемых сред // Прикладная математика и механика. – 1980. – Т. 44, № 5. – С. 867–874. Scholar
14.Stepanyan S.Pa. On the numerical solution to a non-classical problem of bending and stability for an orthotropic beam of variable thickness // Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. – 2021. – № 73. – С. 111–120. DOI: 10/17223/19988621/73/10. Scholar
15.Соляев Ю.О., Лурье С.А., Волков А.В. Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 2. – С. 137–152. DOI: 10.7242/1999- 6691/2017.10.2.1 Scholar
16.Kaplunov, Izuru Takewaki. Modern Trends in Structural and Solid Mechanics 1: Statics and Stability. – Noël Challamel, Julius, John Wiley and Sons, 2021. – 266 p. Scholar
17.Hardy H. Engineering Elasticity: Elasticity with less Stress and Strain. – Springer, 2022. – 275 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-09157-5 Scholar
18.Herakovich C.T. A Concise Introduction to Elastic Solids: An Overview of the Mechanics of Elastic Materials and Structures. – Springer, 2017. – 136 p. DOI: 10.1007/978-3-319-45602-7 Scholar
19.Богачев И.В. Совместная идентификация механических характеристик функционально градиентных пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко. // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 4. – С. 19–29. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.03 Scholar
20.Зубов Л.М. Универсальные решения для изотропных несжимаемых микрополярных тел // Доклады Академии наук. – 2010. – Т. 435, № 1. – С. 35–39. Scholar
21.Сащенко М.А., Павлов Д.А., Жигалов М.В. Сравнительный анализ математических моделей балок Бернулли – Эйлера, Тимошенко, Шереметьева – Пелеха, Акавчи, Туаратье на примере контактной задачи // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2022. – № 1 (92). – С. 36–48. Scholar
22.Recent approaches in the theory of plates and plate-like structures / Altenbach H., Bauer S., Eremeyev V.A., Mikhavev G.I., Morozov N.F. – Springer, Switzerland, 2022. – 326 p. DOI: 10.1007/978-3-030-87185-7 Scholar
23.Bhaskar K., Varadan T. Plates: Theories and Applications. – Springer, 2021. – 278 p. DOI: 10.1007/978-3-030-69424-1 Scholar
24.Eslami M.R. Buckling and Postbuckling of Beams, Plates, and Shells. – Springer, 2017. – 588 p. DOI: 10.1007/978-3- 319-62368-9 Scholar
25.Сагдатуллин М.К. Расчёт конструкций из несжимаемых материалов // Вестник Казанского технологического университета. – 2021. – Т. 24, № 2. – С. 79–82. Scholar
26.Точное решение задачи о поэтапной деформации многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала / В.А. Левин, А.В. Вершинин, К.М. Зингерман, Д.Р. Бирюков. // Чебышевский сборник. – 2022. – № 4 (85). – Т. XXIII. – С. 262– 272. DOI: 1022405/2226-8383=2022-23-4-262-271 Scholar
27.Jones R.M. Buckling of Bars, Plates, and Shells. – Bull Ridge Corporation, 2006. – 824 p. Scholar
28.Vijayakumar K., Ramaiah G.K. Poisson Theory of Elastic Plates. – Springer, 2021. – 149 p. DOI: 10.1007/978-981-33-4210-1 Scholar
29.Mukherjee B., Dillard D.A. On buckling of a thin plate on an elastomeric foundation // International Journal of Mechanical Sciences. – Elsevier, 2018. – Vol. 149. – P. 429–435. DOI: 10/1016/j.ijmecsci.2017.10.015 Scholar
30.Фирсанов В.В. Изгиб композитной балки с учётом сдвиговой деформации // Известия ТулГУ Технические науки. – 2018. – Вып. 4. – С. 168–174. Scholar
31.Фирсанов В.В. Моделирование изгиба балок из резиноподобных материалов. // Математическое моделирование и численные методы. – 2021. – № 4.– С. 3–16. DOI: 10.18698/2309-3684-2021-4-316. Scholar

Article information

Published: 5 October 2023
Issue date: 5 October 2023
Issue: No. 4 (2023)