EXACT SOLUTION OF THE PROBLEM OF ACOUSTICS IN AN ARBITRARY MULTILAYER MEDIUM DURING CONTACT INTERACTION WITH A WEDGE SHAPED STAMP

V.A. Babeshko, O.V. Evdokimova, O.M. Babeshko, V.S. Evdokimov

Author details

V.A. Babeshko
Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation
O.V. Evdokimova
Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation
O.M. Babeshko
Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation
V.S. Evdokimov
Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.4.01

This paper is the first to study the behavior of the exact solution of the contact problem for a wedge-shaped stamp in terms of shape in an anisotropic layered medium. We consider the contact problem of the action of a wedge-shaped, right-angled, rigid stamp on the surface of a multilayer anisotropic medium. The case of a sharp-angled stamp in terms of some transformation is reduced to the one under consideration. The stamp is assumed to act on a multilayer medium without friction. There may be cases of static and dynamic effects caused by harmonic oscillations of the stamp. The main attention is paid to analyzing the surface behavior of an anisotropic layered medium outside the contact zone. Formulas describing the behavior of the surface in the far zone are constructed and an example of calculating the necessary parameters for their application is given. The considered mixed problem is reduced to solving the two-dimensional Wiener – Hopf integral equation, the Fourier transform of the kernel of which represents the ratio of two analytical functions. The isotropic case of the presence of the ratio of two integer functions in the representation of the kernel has recently been investigated by a universal modeling method, which prompted the transition to the little-studied anisotropic case. In spatial contact problems, the study is carried out by numerical methods that are ineffective for anisotropic media. The exact solution could be constructed only in cases of one-dimensional or integral equations reducible to them. Along with static tasks, the method developed in the article allows studying the acoustic properties of the surface outside the contact zone of the stamp with the medium in the dynamic case, which have little-studied specifics of behavior by sectors. The two-dimensional Wiener-Hopf integral equation solved for the first time can be used in problems of radio wave propagations, in the design of the element base of radio electronics, in the problem of strength in mechanics, and in numerous other important areas.

Keywords

contact problemsWiener – Hopf integral equationwedge-shaped domainfactorizationacousticssurface waves.

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ АКУСТИКЕ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ ПРИ КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С КЛИНОВИДНЫМ ШТАМПОМ

В работе впервые изучается поведение точного решения контактной задачи для штампа клиновидного в плане формы в анизотропной слоистой среде. Рассмотрена контактная задача о действии клиновидного, с прямым углом в плане, жесткого штампа на поверхность многослойной анизотропной среды. Случай остроугольного в плане штампа некоторым преобразованием сводится к рассматриваемому. Штамп предполагается действующим на многослойную среду без трения. Возможны случаи статического и динамического воздействия, вызываемого гармоническим колебанием штампа. Основное внимание уделено анализу поведения поверхности анизотропной слоистой среды вне зоны контакта. Построены формулы, описывающие поведение поверхности в дальней зоне и приведен пример вычисления необходимых параметров для их применения. Рассматриваемая смешанная задача приводится к решению двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа, преобразование Фурье, ядра которого представляют отношение двух аналитических функций. Изотропный случай наличия отношения двух целых функций в представлении ядра недавно был исследован универсальным методом моделирования, подсказавшим переход к малоизученному анизотропному случаю. В пространственных контактных задачах исследование проводится численными методами, малоэффективными для анизотропных сред. Точное решение удавалось построить лишь в случаях одномерных, или сводящихся к ним, интегральных уравнений. Разработанный в статье метод позволяет, наряду со статическими задачами, изучать акустические свойства поверхности вне зоны контакта штампа со средой в динамическом случае, которые имеют малоизученную специфику поведения по секторам. Впервые решенное двумерное интегральное уравнения Винера – Хопфа может быть использовано в задачах распространения радиоволн, при конструировании элементной базы радиоэлектроники, в проблеме прочности в механике, в многочисленных других важных областях.

Ключевые слова

контактные задачиинтегральное уравнение Винера – Хопфаклиновидная областьфакторизацияакустикаповерхностные волны.

Bibliography

1.Ashkenazi E.K. Anisotropiya mashinostroitel'nyh materialov [Anisotropy of mechanical engineering materials]. Leningrad: Mashinostroenie, 1969. 362 p. Scholar
2.Nozdrev V.F., Fedorischenko N.V. Molekulyarnaya akustika [Molecular acoustics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1974. 288 p. Scholar
3.Blistanov A.A., Bondarenko V.S., Perelomova N.V., et al. Akusticheskie kristally [Acoustic crystals]. Moscow: Nauka, 1982. 632 p. Scholar
4.Magnitskii V.A. Vnutrennee stroenie i fizika Zemli [Internal structure and physics of the Earth]. Moscow: Nauka, 2006. 390 p. Scholar
5.Davis A.M.J. Continental shelf wave scattering by a semi-infinite coastline. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 1987, Vol. 39, pp. 25-55. Scholar
6.Erofeev V.I., Lisenkova E.E., Tsarev I.S. Dynamic behavior of a beam on a generalized elastic foundation with a moving load. PMM, 2021, Vol. 85, No. 2, pp. 193-209. Scholar
7.Aleksandrov V.M., Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Sliding contact of a smooth indenter and a viscoelastic half-space (3D problem). Doklady Physics, 2010, Vol. 55, No. 2, pp. 77-80. Scholar
8.Fok V.A. On some integral equations of mathematical physics. Matem. Sborn., 1944, No. 14, Iss. 1, 2, 3. Scholar
9.Sautbekov S., Nilsson B. Electromagnetic scattering theory for gratings based on the Wiener-Hopf method. AIP Conf. Proc., 2009, No. 1106, pp. 110-117. Scholar
10.Babeshko V.A. Obobshennii metod faktorizasii v prostranstvennih dinamicheskih smeshannih zadachah teorii uprugosti [Generalized factorization method in spatial dynamic mixed problems of elasticity theory]. Moscow: Nauka, 1984. 256 p. Scholar
11.Freund L. B. Dynamic Fracture Mechanics. Cambridge, UK. Cambridge University Press. 1998. 558 p. Scholar
12.Kulesh M.A., Matveenko V.P., Shardakov I.N. On the propagation of elastic surface waves in the Kosser medium. Doklady Physics, 2005, Vol. 50, No. 11, pp. 601-604. Scholar
13.Achenbach J.D. Wave propagation in Elastic Solids. North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics. Amsterdam: North-Holland, 1973. 425 p. Scholar
14.Abrahams I.D. An application of Padé approximates to Wiener-Hopf factorization. IMA J. Appl. Math., 2000, Vol. 65, pp. 257-281. Scholar
15.Matveenko V.P., Fedorov A.Yu., Shardakov I.N. Analysis of stress singularity at singular points of elastic bodies from functionally gradient materials. Doklady Physics, 2016, Vol. 61, No. 1, pp. 24-28. Scholar
16.Noble B. Metod Vinera – Hopfa [Wiener – Hopf method]. IL, 1962. 280 p. Scholar
17.Babeshko V.A., Syromyatnikov P.V. On the problem of localization and resonances research in an electroelastic anisotropic layer. Doklady Physics, 1999, Vol. 44, No. 7, pp. 460-465. Scholar
18.Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. The exact solution of the universal method of modeling the contact problem in the quarter plane of a multilayer medium. Mechanics of Solids, 2022, Vol. 57, No. 8, pp. 2058–2065. DOI: 10.3103/S0025654422080039 Scholar
19.Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. Block element method for solving integrated equations of contact problems in wedge-shaped domains. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2017, Vol. 58, No. 2, pp. 301-307. DOI 10.1134/S0021894417020146 Scholar
20.Fedoryuk M.V. Metod perevala [The method of the pass]. Moscow: Nauka, 1977. 368 p. Scholar

1.Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. – Л.: Машиностроение, 1969. – 362 с. Scholar
2.Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная акустика. – М.: Высшая школа, 1974. – 288 с. Scholar
3.Акустические кристаллы / А.А. Блистанов, В.С. Бондаренко, Н.В. Переломова [и др.]. – М.: Наука, 1982. – 632 с. Scholar
4.Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. – М.: Наука, 2006. – 390 с. Scholar
5.Davis A.M.J. Continental shelf wave scattering by a semi-infinite coastline // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. – 1987. – Vol. 39. – P. 25–55. Scholar
6.Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Царев И.С. Динамическое поведение балки, лежащей на обобщенном упругом основании, с движущейся нагрузкой // ПММ. – 2021. – Т. 85, № 2. – С. 193–209. Scholar
7.Aleksandrov V.M., Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Sliding contact of a smooth indenter and a viscoelastic half-space (3D problem) // Doklady Physics. – 2010. – Vol. 55, № 2. – P. 77–80. Scholar
8.Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики // Матеем. сборн. – 1944. – № 14, вып. 1, 2, 3. Scholar
9.Sautbekov S., Nilsson B. Electromagnetic scattering theory for gratings based on the Wiener-Hopf method // AIP Conf. Proc. – 2009. – № 1106. – P. 110–117. Scholar
10.Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. – М.: Наука, 1984. – 256 с. Scholar
11.Freund L.B. Dynamic Fracture Mechanics. – Cambridge, UK. Cambridge University Press, 1998. – 558 p. Scholar
12.Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Доклады Академии наук. – 2005. – Т. 405, № 2. – С. 196–198. Scholar
13.Achenbach J.D. Wave propagation in Elastic Solids // North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics. – Amsterdam: North-Holland, 1973. – 425 p. Scholar
14.Abrahams I.D. An application of Padé approximates to Wiener-Hopf factorization // IMA J. Appl. Math. – 2000. – Vol. 65. – P. 257–281. Scholar
15.Матвеенко В.П., Федоров А.Ю., Шардаков И.Н. Анализ сингулярности напряжении в особых точках упругих тел из функционально градиентных материалов // Доклады Академии наук. – 2016. – Т. 466, № 1. – С. 38–42. Scholar
16.Нобл Б. Метод Винера – Хопфа ИЛ, 1962. – 280 с. Scholar
17.Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследования локализации и резонансов в электроупругом анизотропном слое // Доклады РАН. – 1999. – Т. 367, № 2. – С. 186–190. Scholar
18.Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Точное решение универсальным методом моделирования контактной задачи в четверти плоскости многослойной среды // ПММ. – 2022. – Т. 86, № 5. – С. 628–637. Scholar
19.Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Метод блочного элемента для интегральных уравнений контактных задач в клиновидной области // Журнал прикладной механики и технической физики. – 2017. – Т 58, № 2. – С. 133–140. DOI 10.1134/S0021894417020146 Scholar
20.Федорюк М.В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977. – 368 с. Scholar

Article information

Published: 5 October 2023
Issue date: 5 October 2023
Issue: No. 4 (2023)