Variational-Difference Solution of Deformation and Buckling Problems of Elastoplastic Shells of Revolution with Elastic Filler under Combined Quasi-Static and Dynamic Axisymmetric Loadings

The paper suggests a formulation and method for a numerical solution of deformation and buckling of elastoplastic shells of revolution with elastic filler under quasi-static and dynamic loadings. The problem is solved in a two-dimensional plane or generalized axisymmetric formulation with torsion. The governing system of equations is written in a Cartesian or cylindrical coordinate system. Modeling of deformation of an elastic-plastic shell is carried out based on the hypotheses of the theory of shells of the Timoshenko type, taking into account geometric nonlinearities. Kinematic relations are written in velocities and formulated in the metric of the current state. The elastoplastic properties of the shell are described by the flow theory with nonlinear isotropic hardening. Filler modeling is based on continuum mechanics hypotheses. The filler material is assumed to be linearly elastic. The variational equations of motion of structural elements (both shells and filler) are reduced from the three-dimensional equation of the balance of virtual powers of the work of continuum mechanics taking into account the accepted hypotheses of the theory of shells or a flat deformed state or generalized axisymmetric deformation with torsion. The modeling of the contact interaction between the shell and the filler is based on the condition of nonpenetration along the normal and slippage along the tangential. The finite-difference method and an explicit time integration scheme of the cross type are used to solve the defining system of equations. Approbation of the technique was carried out on the problem of buckling of a steel cylindrical shell with an elastic filler under quasi-static and dynamic compression by an external pressure that linearly increases with time. The results of the numerical study are compared with calculations performed using two other approaches developed earlier by the authors. The first approach is based on full-scale modeling of the process of deformation of the shell and filler within the framework of continuum mechanics. In the second approach, a simplified formulation is used, in which the deformation of the shell is modeled according to the hypotheses of the theory of non-sloping shells of the Timoshenko type taking into account geometric nonlinearities, and the filler is modeled according to the Winkler foundation hypothesis. The developed approaches make it possible to model the nonlinear subcritical deformation of shells of revolution with an elastic filler, to determine the ultimate (critical) loads in a wide range of loading rates taking into account geometric shape imperfections, to study buckling in axisymmetric and non-axisymmetric shapes under dynamic and quasi-static combined loadings in plane and axisymmetric deformations.

ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УПРУГИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ КОМБИНИРОВАННЫХ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НАГРУЖЕНИХ

Разработаны постановка и метод численного решения задач деформирования и потери устойчивости упругопластических оболочек вращения с упругим заполнителем при квазистатических и динамических нагружениях. Задача решается в двумерной (плоской или обобщенной осесимметричной с кручением) постановке. Определяющая система уравнений записывается в декартовой или цилиндрической системе координат. Моделирование процесса деформирования упругопластической оболочки осуществляется на основе гипотез теории оболочек типа Тимошенко с учетом геометрических нелинейностей. Кинематические соотношения записываются в скоростях и формулируются в метрике актуального состояния. Упругопластические свойства оболочки описываются теорией течения с нелинейным изотропным упрочнением. Моделирование заполнителя основано на гипотезах механики сплошной среды. Материал заполнителя полагается линейно упругим. Вариационные уравнения движения элементов конструкции (как оболочек, так и заполнителя) редуцируются из трехмерного уравнения баланса виртуальных мощностей работы механики сплошных сред с учетом принятых гипотез теории оболочек либо плоского деформированного состояния или обобщенной осесимметричной деформации с кручением. Моделирование контактного взаимодействия оболочки и заполнителя основано на условии непроникания по нормали и проскальзывания по касательной. Для решения определяющей системы уравнений применяется конечно-разностный метод и явная схема интегрирования по времени типа «крест». Апробация методики выполнена на задаче потери устойчивости стальной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при квазистатическом и динамическом обжатии внешним давлением, линейно возрастающим во времени. Результаты численного исследования сопоставляются с расчетами, выполненными с применением двух других подходов, разработанных авторами ранее. Первый подход основан на полномасштабном моделировании процесса деформирования оболочки и заполнителя в рамках механики сплошных сред. Во втором подходе применяется упрощенная постановка, в которой деформирование оболочки моделируется согласно гипотезам теории непологих оболочек типа Тимошенко с учетом геометрических нелинейностей, а заполнитель – гипотезе основания Винклера. Разработанные подходы позволяют моделировать нелинейное докритическое деформирование оболочек вращения с упругим заполнителем, определять предельные (критические) нагрузки в широком диапазоне скоростей нагружения с учетом геометрических несовершенств формы, исследовать процессы потери устойчивости по осесимметричным и неосесимметричным формам при динамических и квазистатических комбинированных нагружениях в условиях плоской и осесимметричной деформации.