ДИСПЕРСИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В МАТЕРИАЛАХ С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

Ерофеев, В.И.; Леонтьева, А.В.; Шекоян, А.В.

doi:10.15593/perm.mech/2023.5.03

ДИСПЕРСИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В МАТЕРИАЛАХ С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

В.И. Ерофеев, А.В. Леонтьева, А.В. Шекоян

Сведения об авторах

В.И. Ерофеев
Институт проблем машиностроения Российской академии наук – филиал Федерального исследовательского центра Институт прикладной физики им. А.В. Гапонова – Грехова Российской академии наук, Нижний Новгород, Российская Федерация
А.В. Леонтьева
Институт проблем машиностроения Российской академии наук – филиал Федерального исследовательского центра Институт прикладной физики им. А.В. Гапонова – Грехова Российской академии наук, Нижний Новгород, Российская Федерация
А.В. Шекоян
Институт механики Национальной академии наук Армении, Ереван, Армения

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.5.03

Исследуется распространение гармонических волн в материалах с точечными дефекта- ми. Задача описывается системой дифференциальных уравнений, включающей в себя ди- намическое уравнение теории упругости и кинетические уравнения плотности дефектов, учитывающей взаимное влияние дефектов и распространяющейся волны, а также взаимную рекомбинацию дефектов. Рассматриваются как предельные случаи – материалы с одним типом точечных дефектов (вакансии, межузлия), так и общий случай, если материал содер- жит оба типа точечных дефектов (вакансии и межузлия). Проанализировано влияние на ам- плитуду и скорость гармонической волны параметров точечных дефектов, характеризующих диффузию дефектов, скорость их рекомбинации на стоках и изменение объема материала при образовании в нем одного точечного дефекта. Показано, что в средах с вакансиями про- дольные волны низкой частоты имеют большую амплитуду и скорость, чем в средах с ме- жузлиями. При этом в средах с вакансиями скорости низкочастотных возмущений достигают больших значений, а в средах с межузлиями – меньших значений по сравнению с высокочас- тотными возмущениями. Выявлен частотный диапазон, в котором дисперсия продольных волн существенна, в средах с вакансиями она имеет нормальный, а в средах с межузлиями – аномальный характер. Увеличение коэффициента диффузии или уменьшение величины дилатационного параметра способствует более слабому проявлению дисперсии. Отмечено, что коэффициенты диффузии дефектов не влияют на существование дополнительной низ- кочастотной волны. Для волн высокой частоты среды с вакансиями и межузлиями практиче- ски неразличимы, наличие любых точечных дефектов почти не влияет на скорость распро- странения высокочастотных возмущений и их амплитуду.

Ключевые слова

точечные дефектывакансиимежузлияпродольная волнадисперсия.

Dispersion of longitudinal waves propagating in materials with point defects

The paper investigates the propagation of harmonic waves in materials with point defects. The problem is described by a system of differential equations, which includes a dynamic equa- tion of the theory of elasticity and kinetic equations of defect densities taking into account the mutual influence of defects and a propagating wave, as well as mutual recombination of defects. We consider both limit cases, materials with one type of point defects (vacancies, interstitials), and the general case if the material contains both types of point defects (vacancies and intersti- tials). We analyzed the effect on the amplitude and velocity of the harmonic wave of the parame- ters of point defects characterizing the diffusion of defects, the rate of their recombination on drains and the change in the volume of the material when one point defect is formed in it. It has been shown that in media with vacancies, longitudinal waves of low frequency have a higher amplitude and velocity than in media with interstitials. At the same time, in media with vacancies, the velocities of low-frequency perturbations reach large values, and in media with interstitials they reach smaller values, compared to high-frequency perturbations. A frequency range has been identified in which the dispersion of longitudinal waves is significant, in media with vacan- cies it is normal, and in media with interstitials it is abnormal. The increasing diffusion coefficient or the decreasing dilation parameter contributes to a weaker dispersion. It is noted that the diffu- sion coefficients of defects do not affect the existence of an additional low-frequency wave. For high frequency waves, media with vacancies and interstitials are practically indistinguishable; the presence of any point defects almost does not affect the propagation rate of high-frequency per- turbations and their amplitude.

Keywords

point defectsvacanciesinterstitialslongitudinal wavedispersion.

Литература

1.Мирзоев Ф.Х., Панченко В.Я., Шелепин Л.А. Лазерное управление процессами в твердом теле // Успехи физических наук. – 1996. – Т. 166, № 1. – С. 3–32. Scholar
2.Емельянов В.И., Уварова И.Ф. Электронно-деформа- ционно-тепловая неустойчивость и фазовый переход полу- проводник-металл под действием лазерного излучения с обра- зованием сверхструктур // Журнал экспериментальной и тео- ретической физики. – 1988. – Т. 94, № 8. – С. 255–269. Scholar
3.Емельянов В.И., Сумбатов А.А. Кристаллизационно-де- формационно-тепловая неустойчивость и формирование упоря- доченных структур при лазерной кристаллизации // Поверх- ность: физика, химия, механика. – 1988. – № 7. – С. 122–127. Scholar
4.Емельянов В.И., Уварова И.Ф. Вакансионно-деформа- ционная неустойчивость в формировании упорядоченных структур при нагреве тонких металлических пленок // Метал- лофизика. – 1989. – Т. 11, № 5. – С. 101–106. Scholar
5.Емельянов В.И., Мирзоев Ф.Х., Шелепин Л.А. О меха- низмах образования упорядоченных структур дефектов при воздействии концентрированных потоков энергии // Кванто- вая электроника. – 1994. – Т. 21, № 8. – С. 769–772. Scholar
6.Мирзоев Ф.Х., Шелепин Л.А. Нелинейные волны де- формации и плотности дефектов в металлических пластинах при воздействии внешних потоков энергии // Журнал техни- ческой физики. – 2001. – Т. 71, № 8. – С. 23–26. Scholar
7.Coupled heat transfer, fluid flow and solidification kinetics for laser additive manufacturing applications / M.D. Khomenko, F.K. Mirzade, N.W. Makoana, S. Pityana // Journal of Manufacturing Processes. – 2021. – Vol. 67. – P. 611–618. Scholar
8.Сейдгазов Р.Д., Мирзаде Ф.Х. Пороговые условия тер- мокапиллярного формирования глубокой каверны в аддитив- ном процессе селективного лазерного плавления металличе- ского порошкового слоя // Сварочное производство. – 2021. – № 5. – С. 20–30. Scholar
9.Сейдгазов Р.Д., Мирзаде Ф.Х. Возбуждение капилляр- ной волны как механизм образования пор в процессе глубоко- го проплавления лазерным излучением // Письма в Журнал технической физики. – 2023. – Т. 49, № 12. – С. 31–33. DOI: 10.21883/PJTF.2023.12.55571.19553 Scholar
10.Риссел Х., Руге И. Ионная имплантация / пер. с нем. В.В. Климова, В.Н. Пальянова; под ред. М.И. Гусевой. – М.: Наука, 1983. – 360 с. Scholar
11.Оцуки Е.-Х. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами / пер. с англ. В.В. Белошицкого, Л.И. Ог- нева, А.В. Тулупова; под ред. М.А. Кумахова. – М.: Мир, 1985. – 280 с. Scholar
12.Анищик В.М., Углов В.В. Модификация инструмен- тальных материалов ионными и плазменными пучками. – Минск: Изд-во БГУ, 2003. – 190 с. Scholar
13.Defect production during ion implantation of various AIIIBV semiconductors / W. Wesch, E. Wendler, G. Gotz, N.P. Kekelidse // Journal of Applied Physics. – 1989. – Vol. 65, no. 2. – P. 519–526. Scholar
14.Native point defects in low-temperature-grown GaAs / X. Liu, A. Prasad, J. Nishio, E.R. Weber, Z. Liliental-Weber, W. Walukiewicz // Applied Physics Letters. – 1995. – Vol. 67, no. 2. – P. 279–281. Scholar
15.Совместная имплантация кремния и фосфора в неле- гированную и легированную индием подложки GaAs / Н.Н. Дымова, А.Е. Куницын, А.В. Марков, В.В. Чалдышев // Физика и техника полупроводников. – 1997. – Т. 31, № 12. – С. 1409–1413. Scholar
16.Formation of n+-layers in undoped and indium-doped GaAs wafers by Si and Si+P ion implantation / V.V. Chaldyshev, N.N. Dymova, A.E. Kunitsyn, A.V. Markov // Physica Status Sol- idi (a). – 1997. – Vol. 163, no. 1. – P. 81–86. Scholar
17.Napolitani E., Impellizzeri G. Ion implantation defects and shallow junctions in Si and Ge // Semiconductors and Semi- metals. – 2015. – Vol. 91. – P. 93–122. Scholar
18.Окулич Е.В., Окулич В.И., Тетельбаум Д.И. Расчет влияния плотности ионного тока и температуры на кинетику накопления точечных дефектов при облучении кремния легкими ионами // Физика и техника полупроводников. – 2018. – Т. 52, № 9. – С. 967–972. DOI: 10.21883/FTP.2018.09.46228.8720 Scholar
19.Light-emitting 9R-Si phase formed by Kr+ ion implantation into SiO2/Si substrate / A.A. Nikolskaya, D.S. Koro- lev, A.N. Mikhaylov, A.I. Belov, A.A. Sushkov, N.O. Krivulin, K.R. Muhamatchin, A.A. Elizarova, M.O. Marychev, A.A. Kona- kov, D.I. Tetelbaum, D.A. Pavlov // Applied Physics Letters. – 2018. – Vol. 113. – P. 182103. Scholar
20.Окулич Е.В., Окулич В.И., Тетельбаум Д.И. Расчет доз аморфизации кремния при облучении легкими ионами средних энергий // Физика и техника полупроводников. – 2020. – Т. 54, № 8. – С. 771–777. DOI: 10.21883/FTP.2020.08.49649.9338 Scholar
21.Photoluminescence of ion-synthesized 9R-Si inclusions in SiO2/Si structure: Effect of irradiation dose and oxide film thickness / A. Nikolskaya, A. Belov, A. Mikhaylov, A. Konakov, D. Tetelbaum, D. Korolev // Applied Physics Letters. – 2021. – Vol. 118, no. 21. – P. 212101. Scholar
22.Influence of chemical nature of implanted atoms on pho- toluminescence of ion-synthesized 9R-Si hexagonal silicon / A. Nikolskaya, D. Korolev, A. Belov, A. Konakov, D. Pavlov, A. Mikhaylov, D. Tetelbaum // Materials Letters. – 2022. – Vol. 308, part A. – P. 131103. Scholar
23.Luminescence of modified W-centers arising in silicon upon irradiation of the SiO2/Si system by Kr+ ions / A. Nikol- skaya, D. Korolev, A. Mikhaylov, A. Konakov, A. Okhapkin, S. Kraev, A. Sushkov, D. Pavlov, D. Tetelbaum // Materials Let- ters. – 2023. – Vol. 342. – P. 134302. Scholar
24.Образование гексагональной фазы кремния 9R-Si при имплантации системы SiO2/Si ионами Kr+ / А.А. Николь- ская, Д.С. Королев, А.Н. Михайлов, А.А. Конаков, А.И. Охап- кин, С.А. Краев, А.И. Андрианов, А.Д. Моисеев, А.А. Сушков, Д.А. Павлов, Д.И. Тетельбаум // Вестник Московского Уни- верситета. Серия 3. Физика. Астрономия. – 2023. – Т. 78, № 3. – С. 2330501. DOI: 10.55959/MSU0579-9392.78.2330501 Scholar
25.Бурлак Г.Н., Островский И.В. Гистерезисные аку- стические явления, связанные с дислокационной нелинейно- стью в кристаллах // Письма в Журнал технической физики. – 1997. – Т. 23, № 18. – С. 69–74. Scholar
26.Ерофеев В.И., Ромашов В.П. Влияние дислокаций на дисперсию и затухание ультразвука в твердом теле // Письма в Журнал технической физики. – 2002. – Т. 28, № 6. – С. 6–11. Scholar
27.Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. – М.: Физматлит, 2009. – 320 с. Scholar
28.Сарафанов Г.Ф. Коллективные и волновые эффекты в ансамбле дислокаций при пластической деформации метал- лов. – Нижний Новгород: Литера, 2010. – 359 с. Scholar
29.Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Дисперсия и самомо- дуляция волн, распространяющихся в твердом теле с дислока- циями // Физическая мезомеханика. – 2017. – Т. 20, № 4. – С. 69–76. Scholar
30.Ерофеев В.И., Артамонова О.А. Влияние точечных дефектов в материале на распространение нелинейной аку- стической волны // Труды XXII Сессии Российского акустиче- ского общества и Научного совета по акустике РАН. – М.: ГЕОС, 2010. – Т. 1. – С. 158–159. Scholar
31.Ерофеев В.И., Леонтьева А.В., Шекоян А.В. Ударные волны в термоупругой среде с точечными дефектами // Жур- нал технической физики. – 2020. – Т. 90, № 1. – С. 26–32. Scholar
32.Erofeev V.I., Leonteva A.V., Shekoyan A.V. Dispersion, attenuation and spatial localization of thermoelastic waves in a medium with point defects // Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. Altenbach H., Eremeyev V.A., Igumnov L.A. (eds). – Springer, Cham, 2021. – STRUCTMAT, Vol. 141. – P. 123–144. Scholar
33.Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия Диссипация. Нелинейность. – М.: Физ- матлит, 2002. – 208 с. Scholar

1.Mirzoev F.Kh., Panchenko V.Ya., Shelepin L.A. Laser control processes in solids. Physics–Uspekhi, 1996, Vol. 39, No. 1, pp. 1-29. https://doi.org/10.1070/PU1996v039n01ABEH000125 Scholar
2.Emel’yanov V.I., Uvarova I.F. Laser-induced electron- deformation-thermal instability and a semiconductor-metal phase transition involving superstructure formation. Soviet physics, Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1988, Vol. 67, No. 2(8), pp. 1662-1670. Scholar
3.Emel'yanov V.I., Sumbatov A.A. Kristallizatsionno-defor- matsionno-teplovaia neustochivost' i formirovanie uporiadochennykh struktur pri lazernoi kristallizatsii [Crystallization-deformation-thermal instability and formation of ordered structures during laser crystalliza- tion]. Poverkhnost': fizika, khimiia, mekhanika [Physics, Chemistry and Mechanics of Surfaces], 1988, No. 7, pp. 122-127. Scholar
4.Emel'ianov V.I., Uvarova I.F. Vakansionno-deformatsion- naia neustochivost' v formirovanii uporiadochennykh struktur pri nagreve tonkikh metallicheskikh plenok [Vacancy-deformation instability in the formation of ordered structures when heating thin metal films]. Metallofizika, 1989, Vol. 11, No. 5, pp. 101-106. Scholar
5.Emel'yanov V.I., Mirzoev F.K., Shelepin L.A. Mechanisms of the formation of ordered defect structures by the action of concentrated energy fluxes. Quantum Electronics, 1994, Vol. 24, No. 8, pp. 714- 717. https://doi.org/10.1070/QE1994v024n08ABEH000173 Scholar
6.Mirzoev F., Shelepin L.A. Nonlinear strain waves and den- sities of defects induced in metal plates by external energy fluxes. Technical Physics, 2001, Vol. 46, No. 8, pp. 952-955. https://doi.org/10.1134/1.1395114 Scholar
7.Khomenko M.D., Mirzade F.K., Makoana N.W., Pityana S. Coupled heat transfer, fluid flow and solidification ki- netics for laser additive manufacturing applications. Journal of Manufacturing Processes, 2021, Vol. 67, pp. 611-618. https://doi.org/10.1016/j.jmapro.2021.05.019 Scholar
8.Seydgazov R.D., Mirzade F.Kh. Threshold conditions for thermocapillary formation of a deep cavity in the additive process for selective laser melting of a metal powder layer. Welding Inter- national, 2021, Vol. 35, No. 7-9, pp. 359-368. https://doi.org/10.1080/09507116.2021.1979829 Scholar
9.Seidgazov R.D., Mirzade F.Kh. Excitation of a capillary wave as a mechanism for the formation of pores in the process of deep penetration by laser radiation. Technical Physics Letters, 2023, Vol. 49, No. 6, pp. 65-67. Scholar
10.Ryssel H., Ruge I. Ionenimplantation [Ion implantation]. Stuttgart: B.G. Teubner Verlag, 1978, 366 p. (Russ. ed.: Ryssel, H., Ruge, I. Ionnaya implantatsiya. Moscow: Nauka, 1983, 360 p.). Scholar
11.Ohtsuki Y.-H. Charged beam interaction with solids. London: Taylor & Francis Publ., 1983, 248 p. (Russ. ed.: Ohtsuki, Y.-H. Vzaimodeystvie zaryazhennykh chastits s tverdymi telami. Moscow: Mir Publ., 1985, 280 p.). Scholar
12.Anishchik V.M., Uglov V.V. Modifikatsiia instrumental'nykh materialov ionnymi i plazmennymi puchkami [Modification of instrumental materials by ion and plasma beams]. Minsk: Izd-vo BGU, 2003, 190 p. Scholar
13.Wesch W., Wendler E., Gotz G., Kekelidse N.P. Defect production during ion implantation of various AllIBV semicon- ductors. Journal of Applied Physics, 1989, Vol. 65, No. 2, pp. 519- 526. https://doi.org/10.1063/1.343134 Scholar
14.Liu X., Prasad A., Nishio J., Weber E.R., Liliental- Weber Z., Walukiewicz W. Native point defects in low- temperature-grown GaAs. Applied Physics Letters, 1995, Vol. 67, No. 2, pp. 279-281. https://doi.org/10.1063/1.114782 Scholar
15.Dymova N.N., Kunitsyn A.E., Chaldyshev V.V., Mar- kov A.V. Silicon and phosphorus co-implantation into undoped and indium-doped GaAs substrates. Semiconductors, 1997, Vol. 31, No. 12, pp. 1217-1220. https://doi.org/10.1134/1.1187296 Scholar
16.Chaldyshev V.V., Dymova N.N., Kunitsyn A.E., Mar- kov A.V. Formation of n+-Layers in Undoped and Indium-Doped GaAs Wafers by Si and Si+P Ion Implantation. Physica Status Solidi (a), 1997, Vol. 163, No. 1, pp. 81-86. https://doi.org/10.1002/1521- 396X(199709)163:1<81::AID-PSSA81>3.0.CO;2-J Scholar
17.Napolitani E., Impellizzeri G. Ion implantation defects and shallow junctions in Si and Ge. Semiconductors and Semimetals, 2015, Vol. 91, pp. 93-122. https://doi.org/10.1016/bs.semsem.2015.01.001 Scholar
18.Okulich E.V., Okulich V.I., Tetelbaum D.I. Calculation of the influence of the ion current density and temperature on the accumulation kinetics of point defects under the irradiation of Si with light ions. Semiconductors, 2018, Vol. 52, No. 9, pp. 1091- 1096. https://doi.org/10.1134/S1063782618090105 Scholar
19.Nikolskaya A.A., Korolev D.S., Mikhaylov A.N., Belov A.I., Sushkov A.A., Krivulin N.O., Muhamatchin K.R., Elizarova A.A., Marychev M.O., Konakov A.A., Tetelbaum D.I., Pavlov D.A. Light-emitting 9R-Si phase formed by Kr+ ion implantation into SiO2/Si substrate. Applied Physics Letters, 2018, Vol. 113, pp. 182103. https://doi.org/10.1063/1.5052605 Scholar
20.Okulich E.V., Okulich V.I., Tetelbaum D.I. Calculating Silicon-Amorphization Doses under Medium-Energy Light-Ion Irradiation. Semiconductors, 2020, Vol. 54, No. 8, pp. 916-922. https://doi.org/10.1134/S1063782620080175 Scholar
21.Nikolskaya A., Belov A., Mikhaylov A., Konakov A., Tetelbaum D., Korolev D. Photoluminescence of ion-synthesized 9R-Si inclusions in SiO2/Si structure: Effect of irradiation dose and oxide film thickness. Applied Physics Letters, 2021, Vol. 118, No. 21, pp. 212101. https://doi.org/10.1063/5.0052243 Scholar
22.Nikolskaya A., Korolev D., Belov A., Konakov A., Pav- lov D., Mikhaylov A., Tetelbaum D. Influence of chemical nature of implanted atoms on photoluminescence of ion-synthesized 9R- Si hexagonal silicon. Materials Letters, 2022, Vol. 308, Part A, pp. 131103. https://doi.org/10.1016/j.matlet.2021.131103 Scholar
23.Nikolskaya A., Korolev D., Mikhaylov A., Konakov A., Okhapkin A., Kraev S., Sushkov A., Pavlov D., Tetelbaum D. Lumi- nescence of modified W-centers arising in silicon upon irradiation of the SiO2/Si system by Kr+ ions. Materials Letters, 2023, Vol. 342, pp. 134302. https://doi.org/10.1016/j.matlet.2023.134302 Scholar
24.Nikolskaya A.A., Korolev D.S., Mikhaylov A.N., Kona- kov A.A., Okhapkin A.I., Kraev S.A., Andrianov A.I., Moiseev A.D., Sushkov A.A., Pavlov D.A., Tetelbaum D.I. Formation of Hexagonal Phase 9R-Si in SiO2/Si system upon Kr+ Ion Implantation. Moscow University Physics Bulletin, 2023, Vol. 78, No. 3, pp. 361-367. https://doi.org/10.3103/S0027134923030153 Scholar
25.Burlak G.N., Ostrovskii I.V. Acoustic hysteresis phe- nomena due to the dislocation nonlinearity in crystals. Technical Physics Letters, 1997, Vol. 23, No. 9, pp. 725-726. https://doi.org/10.1134/1.1261669 Scholar
26.Erofeev V.I., Romashov V.P. Effect of dislocations on the dispersion and damping of ultrasound in solids. Technical Physics Letters, 2002, Vol. 28, No. 3, pp. 218-220. https://doi.org/10.1134/1.1467280 Scholar
27.Bagdoev A.G., Erofeyev V., Shekoyan A.V. Wave Dy- namics of Generalized Continua. Advanced Structured Materials, Berlin: Springer, 2016, STRUCTMAT, Vol. 24, 274 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-37267-4 Scholar
28.Sarafanov G.F. Kollektivnye i volnovye effekty v ansamble dislokatsii pri plasticheskoi deformatsii metallov [Col- lective and wave effects in the ensemble of dislocations in plastic deformation of metals]. Nizhny Novgorod: Litera, 2010, 359 p. Scholar
29.Erofeev V.I., Malkhanov A.O. Dispersion and Self- Modulation of Waves Propagating in a Solid with Dislocations. Physical Meseomechanics, 2019, Vol. 22, No. 3, pp. 173-180. https://doi.org/10.1134/S1029959919030019 Scholar
30.Erofeev V.I., Artamonova O.A. Vliianie tochechnykh defektov v materiale na rasprostranenie nelineinoi akusticheskoi volny [Effect of point defects in the material on the propagation of a nonlinear acoustic wave]. Trudy XXII Sessii Rossiiskogo akusticheskogo obshchestva i Nauchnogo soveta po akustike RAN, Moscow: GEOS, 2010, Vol. 1, pp. 158-159. Scholar
31.Erofeev V.I., Leont’eva A.V., Shekoyan A.V. Elastic Waves in a Thermoelastic Medium with Point Defects. Technical Physics, 2020, Vol. 65, No. 1, pp. 22-28. https://doi.org/10.1134/S1063784220010053 Scholar
32.Erofeev V.I., Leonteva A.V., Shekoyan A.V. Dispersion, Attenuation and Spatial Localization of Thermoelastic Waves in a Medium with Point Defects. Multiscale Solid Mechanics. Ad- vanced Structured Materials. Altenbach H., Eremeyev V.A., Igumnov L.A. (eds). Springer, Cham, 2021, STRUCTMAT, Vol. 141, pp. 123-144. https://doi.org/10.1007/978-3-030-54928-2_10 Scholar
33.Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Semerikova N.P. Volny v sterzhniakh. Dispersiia. Dissipatsiia. Nelineinost’ [Waves in the rods. Dispersion. Dissipation. Nonlinearity]. Moscow: Fizmatlit, 2002, 208 p. Scholar

Другие статьи выпуска

Весь выпуск (№ 5, 2023)

Скачать PDF

Информация о статье

Опубликована: 04.12.2023
В выпуске: 04.12.2023
Выпуск: № 5 (2023)

ДИСПЕРСИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В МАТЕРИАЛАХ С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

Аннотация

Ключевые слова

Dispersion of longitudinal waves propagating in materials with point defects

Keywords

Литература

Другие статьи выпуска

Информация о статье