Effects of Terms of High Order in Synthesized Polynomial Series Approximation for Fields Associated with the Crack Tip in Anisotropic Media. Part 2. Accuracy Estimates of Asymptotic Solutions

The second part of the article discusses the accuracy of generalized asymptotic series representing the stress and displacement fields associated with the tip of an acute crack in orthotropic materials in the formulation of the plane problem of the theory of anisotropic elasticity. We compare the exact analytical solution to the problem of stretching an infinite anisotropic plane with an in- clined central crack obtained using methods of the complex variable theory and an approximate solution found using the power series expansion method. For the first time, the fields of absolute error allowed for the truncation of the asymptotic series on a different number of terms for materials with a cubic symmetry of elastic properties are obtained. The analysis of the fields of the decadic logarithm of absolute errors showed that near the crack tip of all types of combined (mixed) defor- mation there are geometric points – loci of accuracy, in which the approximate solution almost coincides with the exact solution, which can be used in the interpretation of experimental and com- putational data obtained in order to determine the coefficients of asymptotic series for stresses and displacements near the tip of a crack or notch. To quantify the errors allowed when truncating the asymptotic series on the N th term, a relatively accurate analytical solution obtained on the basis of the theory of the function of a complex variable the L2-norm is introduced into scrutiny, which gives an opportunity to choose and specify the number of terms of the series necessary to achieve the required accuracy when presenting the asymptotic ansatz with a multi-coefficient asymptotic series, for a wide range of slope angle values of the crack to the vertical axis (the axis of action of the applied tensile load) and the angle, setting the location of the anisotropy axes of the elastic properties of the material.

ЭФФЕКТЫ СЛАГАЕМЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ В ОБОБЩЕННЫХ РЯДАХ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЕЙ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ВЕРШИНОЙ ТРЕЩИНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ЧАСТЬ 2. ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Во второй части статьи обсуждается точность обобщенных асимптотических рядов, аппроксими- рующих поля напряжений и перемещений, ассоциированных с острием трещины в ортотропных мате- риалах в плоской постановке задачи анизотропной упругости. Приведено сопоставление точного ана- литического решения задачи о растяжении бесконечной анизотропной плоскости с наклонным цен- тральным разрезом, полученного на основе методов теории функции комплексного переменного, и приближенного решения, найденного с использованием метода разложения в степенные ряды. Впер- вые получены поля абсолютной погрешности, допускаемой при усечении асимптотических рядов на различном количестве слагаемых для сред с кубической сингонией их упругих свойств. Анализ полей десятичного логарифма от абсолютных погрешностей показал, что вблизи вершины трещины для всех типов комбинированного (смешанного) деформирования существуют геометрические места точек – по- кусы точности, в которых приближенное решение практически совпадает с точным решением, что мо- жет быть использовано при интерпретации экспериментальных и вычислительных данных, получаемых с целью определения коэффициентов асимптотических рядов, аппроксимирующих напряжения и пере- мещения вблизи кончика трещины, надреза или углового выреза. В целях количественной оценки погрешностей, допускаемых при усечении асимптотического ряда на N-м слагаемом, относительно точного аналитического решения, полученного на основа- нии теории функции комплексного переменного, введена в рассмотрение L2-норма, что дало воз- можность указать количество слагаемых ряда, необходимое для достижения требуемой точности при представлении решения многоэффекциентным асимптотическим рядом, для широкого спек- тра значений угла наклона трещины к вертикальной оси (оси действия приложенной растягиваю- щей нагрузки) и угла, задающего расположение осей анизотропии упругих свойств материала.