MODELING OF STEADY-STATE LIQUID FILTRATION IN A PIECEWISE INHOMOGENEOUS ELASTIC-POROUS MEDIUM IN THE CLASS OF ALMOST-PERIODIC FUNCTIONS (PLANE PROBLEM)

Author details

E.A. Mikishanina
Chuvash State University, Cheboksary, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.2.05

When modeling liquid filtration in a porous medium, it is assumed that the filtration coefficient is constant, as a result of which the solution is simplified and reduced to a boundary value problem for the Laplace equation. In this paper, the almost periodic of Bohr analytical solutions of the plane problem of steady-state liquid filtration in an elastic – porous piecewise inhomogeneous domain are constructed using a generalized discrete Fourier transform . The domain is a strip consisting of several layers (strips) with different elastic and filtration parameters. Assuming that the filtration coefficient of an elastic-porous medium depends on the first invariant of the stress tensor, we consider it linearly dependent on the coordinate varying along the bandwidth. The filtration problem is reduced to solving a system of partial differential equations with specified boundary conditions on the upper and lower boundaries of the entire multilayer strip and conditions on the internal lines of the media interface, which in turn is reduced to solving the Cauchy problem for a system of Bessel ordinary differential equations. All solutions in this paper are obtained in the form of absolutely convergent Bohr-Fourier series, the coefficients of which are expressed in terms of given functions. Fluid filtration in a three-layer strip consisting of various light and sufficiently elastic-porous sedimentary and igneous rock layers is modeled. Graphs of the desired mechanical parameters are constructed. Their convergence to boundary conditions and conditions on the interface lines of media is shown. The paper also provides basic information concerning the properties of almost-periodic functions and the generalized discrete Fourier transform necessary for a more detailed understanding of the problem.

Keywords

modelingfluid filtrationelastic-porous mediumpiecewise heterogeneous domaingeneralized discrete Fourier transformalmost-periodic functionfiltration coefficient

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОПОРИСТОЙ ОБЛАСТИ В КЛАССЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА)

При моделировании фильтрации жидкости в пористой среде принято считать коэффициент фильтрации постоянным, в результате чего решение упрощается и сводится к краевой задаче для уравнения Лапласа. В настоящей работе строятся с помощью обобщенного дискретного преобразования Фурье почти-периодические по Бору аналитические решения плоской задачи установившейся фильтрации жидкости в упругопористой кусочно-неоднородной области. Область представляет собой полосу, состоящую нескольких слоев (полос) с различными упругими и фильтрационными характеристиками. В предположении, что коэффициент фильтрации упругопористой среды зависит от первого инварианта тензора напряжений, считаем его линейно-зависимым от координаты, изменяющейся вдоль ширины полосы. Задача фильтрации сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными условиями на верхней и нижней границах всей многослойной полосы и условиями на внутренних линиях раздела сред, которая, в свою очередь, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя. Все решения в данной работе получены в виде абсолютно сходящихся рядов Бора – Фурье, коэффициенты которых выражаются через заданные функции. Смоделирована фильтрация жидкости в трехслойной полосе, состоящей из слоев различных легких и достаточно упругопористых осадочных и магматических горных пород. Построены графики искомых механических параметров. Показана их сходимость к граничным условиям и условиям на линиях раздела сред. В работе также приведены основные сведения, касающиеся свойств почти-периодических функций и обобщенного дискретного преобразования Фурье, необходимые для более детального понимания проблемы.

Ключевые слова

моделированиефильтрация жидкостиупругопористая средакусочно-неоднородная областьобобщенное дискретное преобразование Фурьепочти-периодическая функциякоэффициент фильтрации

Bibliography

1.Golubev G.V., Tumashev G.G. Fil'tratsiia neszhimaemoi zhidkosti v neodnorodnoi poristoi srede [Filtration of incompressible fluid in an inhomogeneous porous medium]. Kazan, Kazan University Press, 1972, 195 p. Scholar
2.Bashurov V.V., Vaganova N.A., Filimonov M.Y. Numerical simulation of thermal conductivity processes with fluid filtration in soil, Computational technologies, 2011, vol. 16, no. 4, pp. 3-18. Scholar
3.Ravshanov N., Kurbonov N., Mukhamadiev A. An Approximate Analytical Solution of the Problem of Fluid Filtration in the Multilayer Porous Medium, International Journal of Computational Methods, 2016, no. 13(6), pp. 1-10. doi:10.1142/S0219876216500420 Scholar
4.Badriev I.B., Banderov V.V., Signatullin M.Y. Numerical investigation of nonlinear filtration problems of high-viscosity fluids in porous media, Applied Mechanics and Materials, 2015, vol. 740, pp. 672-675. Scholar
5.Mikishanina E. The Study of Fluid Filtration through Elastic-Porous Materials, Materials Science and Engineering, 2020, vol.753, 022025. doi:10.1088/1757-899X/753/2/022025 Scholar
6.Leont'ev N.V. Osnovy teorii fil'tratsii [Fundamentals of filtration theory]. Moskva, MAKS Press, 2017, 88 p. Scholar
7.Sheidegger A.E. Fizika techeniia zhidkostei cherez poristye sredy [Physics of fluid flow through porous media]. Moskva, Gostoptekhizdat, 1960, 252 p. Scholar
8.Polubarinova-Kochina P. Ya. Theory of Filtration of Liq-uids in Porous Media, Advances in Applied Mechanics, 1951, vol. 2, pp. 153-225. doi: 10.1016/S0065-2156(08)70301-6 Scholar
9.Binshan Ju, Yushu Wu, Tailiang Fan. Study on fluid flow in nonlinear elastic porous media: Experimental and modeling approaches. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2011, vol. 76, no. 3-4, pp. 205-211. doi:10.1016/j.petrol.2011.01.010 Scholar
10.Showalter R. E. Poroelastic filtration coupled to Stokes flow, Control theory of partial differential equations, Chapman and Hall/CRC, 2005, pp. 243-256. Scholar
11.Boskovich D. et al. Metan ugol'nykh plastov: chistaia energiia dlia vsego mira [Coalbed methane: clean energy for the whole world]. Neftegazovoe obozrenie, 2009, vol.21, no. 2, pp. 4-17. Scholar
12.Terentiev A.G. Deep water technology: problem and so-lution. World Maritime Technology Conf. Saint-Petersburg, 2012, pp. 1-7. Scholar
13.Mikishanina E.A. Issledovanie koeffitsienta fil'tratsii uprugo-poristoi sredy pri ploskoi deformatsii [Investigation of the filtration coefficient of an elastic-porous medium under plane deformation]. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'iuternye nauki, 2019, vol.29, no.3, pp. 396-407. doi: 10.20537/vm190309. Scholar
14.Cytovich N.A. Mekhanika gruntov [Soil mechanics]. Moskva, Vysshaya shkola, 1979, 272 p. Scholar
15.Chernyshev S.N., Zommer T.V., Lavrusevich A.A. Calculation methodology for defining the filtration coefficient of a rock mass with loose crack filler. Power Technology and Engineering, 2017, vol. 51, pp. 414-417. doi:10.1007/s10749-017-0848-2 Scholar
16.Levitan B.M. Pochti-periodicheskie funktsii [Almost-periodic functions]. Moskva, GITTL, 1953, 396 p. Scholar
17.Osipov V.F. Pochti-periodicheskie funktsii Bora-Frenelia [Almost-periodic Bohr-Fresnel functions]. Sankt-Peterburg, Izdatel'stvo Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo universiteta, 1952, 308 p. Scholar
18.Kulagina M.F. O nekotorykh beskonechnykh sistemakh s raznostnymi indeksami [On some infinite systems with difference indices]. Izvestiia VUZov. Matematika, 1992, no. 3, pp. 18-23. Scholar
19.Kulagina M.F. Ob integral'nykh uravneniiakh v srednikh znacheniiakh v prostranstvakh pochti-periodicheskikh funktsii [On integral equations in mean values in spaces of almost-periodic functions]. Izvestiia VUZov. Matematika, 1993, no.8, pp. 19-29. Scholar
20.Kulagina M.F., Mikishanina E.A. Postroenie pochti-periodicheskikh reshenii nekotorykh sistem differentsial'nykh uravnenii [Constructing almost-periodic solutions of some systems of differential equations]. Matematicheskie zametki SVFU, 2015, vol.5, no.3, pp. 11-19. Scholar
21.Mikishanina E.A. Postroenie pochti-periodicheskikh reshenii nekotorykh sistem diffeentsial'nykh uravnenii v zadachkh teorii fil'tratsii [Constructing almost-periodic solutions of some systems of differential equations in problems of filtration theory]. Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2016), UFA, 2016, pp. 138-141. Scholar
22.Terent'ev A.G., Kazakova A.O., Mikishanina E.A. Chislennoe reshenie poligarmonicheskikh uravnenii v mekhanike sploshnykh sred [Numerical solution of polyharmonic equations in continuum mechanics]. Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2016), UFA, 2018, pp. 34-42. Scholar
23.Kazakova A.O., Terent'ev A.G. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlia poligarmonicheskogo uravneniia [Numerical solution of boundary value problems for a polyharmonic equation]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 2012, vol.52, no.11, pp. 2050-2059. Scholar
24.Garcia A.L. Numerical methods for physics. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 2000, 423 p. Scholar
25.Stakgold I. Boundary Value Problems of Mathematical Physics: Volume 1. Society for Industrial and Applied Mathemat-ics, 2000. doi: 10.10631/1.30340864 Scholar
26.Polozhii G.N. The method of summary representation for numerical solution of problems of mathematical physics. Elsevier, 1965(2014). doi: 10.2307/2003491 Scholar
27.Mikishanina E.A. Kraevye zadachi dlia neodnorodnykh sistem poligarmonicheskikh uravnenii s prilozheniiami v teorii tonkikh obolochek i plastin [Boundary value problems for inhomo-geneous systems of polyharmonic equations with applications in the theory of thin shells and plates]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2019, no. 4, pp. 136-144. doi: 10.15593/perm.mech/2019.4.13 Scholar
28.Sneddon, I.N. Preobrazovanie Fur'e [Fourier Transform]. Moskva, Izdatel'stvo inostrannoi literatury pod. red. Rabinovicha Iu.L., 1955, 667 p. Scholar
29.Parton V.Z., Perlin P.I. Metody matematicheskoi teorii uprugosti [Methods of mathematical theory of elasticit]. Moskva, Nauka, 1981, 688 p. Scholar
30.Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics.]. Moskva, Nauka, 1977, 632 p. Scholar
31.Ufliand Ia.S. Integral'nye preobrazovaniia v zadachakh teorii uprugosti [Integral transformations in problems of elasticity theory]. Leningrad, Nauka, 1968, 402 p. Scholar
32.Debnath L., Bhatta D. Integral transforms and their appli-cations. Chapman and Hall/CRC, 2006, 728 p. doi: 10.1201/9781420010916 Scholar
33.Zhdanov M.S. Integral transforms in geophysics. Springer Science & Business Media, 2012, 367 p. Scholar
34.Badenko, V.L., Badenko, G.V. Spetsial'nye razdely vysshei matematiki. Matematicheskaia fizika: Ucheb. Posobie [Special sections of higher mathematics. Mathematical physics: Textbook]. Sankt-Peterburg, 2014, 55 p. Scholar
35.Olver F. W. J., Maximon L. C. Bessel functions // NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 2010, pp. 215–286 (Chapter 10). Scholar
36.Mikishanina, E.A., Terentiev, A.G. Ob opredelenii napryazhennogo sostoyaniya uprugo-poristoj sredy [On determina-tion of the stress state of an eslastic porous medium]. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol.159, no. 2, pp. 204–215. Scholar

1.Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. – Казань: издательство Казанского университета, 1972. – 195 с. Scholar
2.Bashurov V.V., Vaganova N.A., Filimonov M.Y. Numerical simulation of thermal conductivity processes with fluid filtration in soil // Computational technologies. – 2011. – Vol. 16, no. 4. – P. 3–18. Scholar
3.Ravshanov N., Kurbonov N., Mukhamadiev A. An Approximate Analytical Solution of the Problem of Fluid Filtration in the Multilayer Porous Medium // International Journal of Computational Methods. – 2016. – Vol. 13, no. 6. – P. 1–10. DOI: 10.1142/S0219876216500420 Scholar
4.Badriev I.B., Banderov V.V., Signatullin M.Y. Numerical investigation of nonlinear filtration problems of high-viscosity fluids in porous media // Applied Mechanics and Materials. – 2015. – Vol. 740. – P. 672–675. Scholar
5.Mikishanina E. The Study of Fluid Filtration through Elastic-Porous Materials // Materials Science and Engineering. – 2020. – Vol. 753. – P. 022025. DOI: 10.1088/1757-899X/753/2/022025 Scholar
6.Леонтьев Н.В. Основы теории фильтрации. – М.: МАКС Пресс, 2017. – 88 с. Scholar
7.Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. – М.: Гостоптехиздат, 1960. – 252 с. Scholar
8.Polubarinova-Kochina P. Ya. Theory of Filtration of Liq-uids in Porous Media // Advances in Applied Mechanics. – 1951. – Vol. 2. – P. 153–225. DOI: 10.1016/S0065-2156(08)70301-6 Scholar
9.Binshan Ju, Yushu Wu, Tailiang Fan. Study on fluid flow in nonlinear elastic porous media: Experimental and modeling approaches // Journal of Petroleum Science and Engineering. – 2011. – Vol. 76, no. 3–4. – P. 205–211. DOI: 10.1016/j.petrol.2011.01.010 Scholar
10.Showalter R.E. Poroelastic filtration coupled to Stokes flow // Control theory of partial differential equations. – Chapman and Hall/CRC. – 2005. – P. 243–256. Scholar
11.Метан угольных пластов: чистая энергия для всего мира / Д. Боскович [и др.] // Нефтегазовое обозрение. – 2009. – Т. 21, No 2. – С. 4–17. Scholar
12.Terntiev A.G. Deep water technology: problem and solu-tion // World Maritime Technology Conf. – Saint-Petersburg, 2012. – P. 1–7. Scholar
13.Микишанина Е.А. Исследование коэффициента фильтрации упругопористой среды при плоской деформации // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2019. – Т. 29, No 3. – С. 396–407. DOI: 10.20537/vm190309 Scholar
14.Цытович Н.А. Механика грунтов. – М.: Высшая школа, 1979. – 272 с. Scholar
15.Chernyshev S.N., Zommer T.V., Lavrusevich A.A. Calculation methodology for defining the filtration coefficient of a rock mass with loose crack filler // Power Technology and Engineering. – 2017. – Vol. 51. – P. 414–417. DOI: 10.1007/s10749-017-0848-2 Scholar
16.Левитан Б.М. Почти-периодические функции. – М.: ГИТТЛ, 1953. – 396 с. Scholar
17.Осипов В.Ф. Почти-периодические функции Бора-Френеля. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского госу-дарственного университета, 1952. – 308 с. Scholar
18.Кулагина М.Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами // Изв. вузов. Математика. – 1992. – No 3. – С. 18–23. Scholar
19.Кулагина М.Ф. Об интегральных уравнениях в средних значениях в пространствах почти-периодических функций // Изв. вузов. Математика. – 1993. – No 8. – С. 19–29. Scholar
20.Кулагина М.Ф., Микишанина Е.А. Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциаль-ных уравнений // Математические заметки СВФУ. – 2015. – Т. 5, No 3. – С. 11–19. Scholar
21.Микишанина Е.А. Построение почти-периодических решений некоторых систем диффеенциальных уравнений в задачах теории фильтрации // Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2016). – УФА, 2016. – C. 138–141. Scholar
22.Терентьев А.Г., Казакова А.О, Микишанина Е.А. Чис-ленное решение полигармонических уравнений в механике сплошных сред // Information Technologies for Intellegent Deci-sion Making Support (ITIDS’2018). – УФА, 2018. – C. 34–42. Scholar
23.Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2012. – Т. 52, No 11. – С. 2050–2059. Scholar
24.Garcia A.L. Numerical methods for physics. – Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2000. – 423 p. Scholar
25.Stakgold I. Boundary Value Problems of Mathematical Physics. – Vol. 1. Society for Industrial and Applied Mathematics. – 2000. DOI: 10.10631/1.30340864 Scholar
26.Polozhii G.N. The method of summary representation for numerical solution of problems of mathematical physics. – Else-vier, 1965(2014). DOI: 10.2307/2003491 Scholar
27.Микишанина Е.А. Краевые задачи для неоднородных систем полигармонических уравнений с приложениями в теории тонких оболочек и пластин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2019. – No 4. – С. 136–144. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.4.13 Scholar
28.Снеддон И.Н. Преобразование Фурье / под. ред. Ю.Л. Рабиновича. – М.: Издательство иностранной литературы, 1955. – 667 с. Scholar
29.Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 с. Scholar
30.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 632 с. Scholar
31.Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1968. – 402 с. Scholar
32.Debnath L., Bhatta D. Integral transforms and their appli-cations. – Chapman and Hall/CRC, 2006. 728 p. DOI: 10.1201/9781420010916 Scholar
33.Zhdanov M.S. Integral transforms in geophysics. – Springer Science & Business Media, 2012. – 367 p. Scholar
34.Баденко В.Л., Баденко Г.В. Специальные разделы высшей математики. Математическая физика: учеб. пособие. – СПб., 2014. – 55 с. Scholar
35.Olver F.W.J., Maximon L.C. Bessel functions // NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge. – 2010. – P. 215–286 (Chapter 10). Scholar
36.Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Об определении напряженного состояния упруго-пористой среды // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 204–215. Scholar

Article information

Published: 23 June 2023
Issue date: 23 June 2023
Issue: No. 2 (2023)