Dynamics and stability of Kapitsa's two-link pendulum

A.K. Belyaev, O.R. Polyakova, T.P. Tovstik

Author details

A.K. Belyaev
Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, Russian Federation
O.R. Polyakova
Public Organization of Scientific Research «Metagalactic Sciences», Podolsk, Russian Federation
T.P. Tovstik
Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.2.07

The object of study. The upper upward position of the pendulum subjected to vibration of the pendulum base is known to be stable for some parameters of the base vibration. The research is devoted to dynamics of the model of a two-link inverted pendulum in a general nonlinear formulation. The goal. The boundaries of the parameters of a given base vibration, under which the inverted mode is stable, are assumed to be known. The goal is to find the regions of the initial conditions of the problem, namely, the initial non-small angles of deviation of the pendulum links from the vertical that result in stable oscillation in the inverted position. We intend to reveal the impact of the rod compressibility on the oscillation mode, as well as the influence of the resonance on stability in the framework of more complex formulation of the problem which involves account for small elastic axial deformation in the rods. Methods. By applying the laws of dynamics to the moving elements of the structure, we derive the complete nonlinear system of equations of the pendulum motion in two formulations: (i) for a system with two and (ii) four degrees of freedom, respectively. The equations include the parameter of small base vibration amplitude, which makes it possible to apply the two-scale asymptotic expansion method. The method leads to a system of averaged equations of motion which is convenient for the benchmark study of parameters. Results. The modes and eigenfrequencies of small oscillations of the pendulum are found depending on the dimensionless parameter of the problem. In the nonlinear formulation, the maximum deviations of the pendulum links are calculated which ensure a stable solution to the problem for zero initial angular velocities. Depending on the initial phase of vibration of the base, the boundaries of absolute and partial zones of stability of vibrations are obtained. In the absolute zone, stable oscillations are realized for any value of the initial phase of the base vibration. In the partial region, stable oscillation occurs at least for one set of initial condition. The dynamics of the pendulum is compared with and without account for rod the compressibility. The results are presented in the graphs.

Keywords

Kapitsa's penduluminverted pendulumstabilityoscillation stability zonetwo-scale expansionaveraged motiontwo-link pendulumvibrationresonancedynamic vibration damperelastic deformationdynamicsnonlinear system of equations.

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХЗВЕННОГО МАЯТНИКА КАПИЦЫ

Известно, что верхнее, перевёрнутое положение маятника при определённых параметрах вертикальной вибрации его основания является устойчивым. Настоящая работа посвящена динамике модели двухзвенного перевёрнутого маятника в общей нелинейной постановке. Определив границы параметров заданной вибрации основания, при которых перевёрнутый режим является устойчивым, найти границы начальных условий задачи, а именно начальные немалые углы отклонения звеньев маятника от вертикали, приводящие к колебаниям в перевёрнутом положении. В более сложной постановке задачи, предполагающей учёт малых упругих деформаций растяжения – сжатия в стержнях, выявить эффекты влияния сжимаемости стержней на режим колебаний, а также влияние резонанса на устойчивость. Применением законов динамики к подвижным элементам конструкции получена полная нелинейная система уравнений движения маятника в двух постановках для системы с двумя и четырьмя степенями свободы соответственно. Уравнения содержат малый параметр амплитуды вибраций основания, что позволяет применить метод двухмасштабного асимптотического разложения. Метод приводит к системе осреднённых уравнений движения, удобной для анализа влияния параметров. Найдены формы и частоты малых колебаний маятника в зависимости от безразмерного параметра задачи. В нелинейной постановке вычислены максимальные отклонения звеньев маятника, дающие устойчивое решение задачи при нулевых начальных угловых скоростях. В зависимости от начальной фазы вибрации основания получены границы двух зон устойчивости колебаний – абсолютной и частичной. В абсолютной области устойчивые колебания реализуются для любого значения начальной фазы вибрации основания, в частичной – хотя бы для одного значения. Проведено сравнение динамики маятника без учёта и с учётом сжимаемости стержней. Результаты представлены на графиках.

Ключевые слова

маятник Капицыперевёрнутый маятникустойчивостьграницы области устойчивостидвухмасштабное разложениеосреднённое движениедвухзвенный маятникколебаниярезонансдинамический гаситель колебанийупругая деформациядинамиканелинейная система уравнений.

Bibliography

1.Stephenson A. On induced stability. Phil. Mag., 1908, Vol. 15, pp.233-236. Scholar
2.Kapitsa P.L. Maiatnik s vibriruiushchim podvesom [A pen-dulum with vibrating point of suspension]. Usp Phys Nauk, 1951, V. 44, pp.7-20. Collected Papers of P.L. Kapitza, edited by D. Ter Haar, Pergamon, London, 1965. Vol. 2. pp.714-726. Scholar
3.Kapitsa P.L. Ėlektronika bolʹshikh moshchnosteĭ [High power electronics]. Usp Phys Nauk, 1962, V. 78 (2), pp.181-265. Scholar
4.Chelomei V.N. O vozmozhnosti povysheniia ustoĭchivosti uprugikh sistem pri pomoshchi vibratsiĭ [On the possibility of increasing the stability of elastic systems using vibrations]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1956, Т. 110. No.3, pp.345-347. Scholar
5.Chelomei V.N. Paradoksy v mekhanike, vyzyvaemye vibratsiiami [Mechanical paradoxes caused by vibrations]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1983, V. 270, No.1, pp.62-67. Scholar
6.Blekhman I.I. Vibration mechanics. World Scientific, Sin-gapore, 2000. Scholar
7.Blekhman I.I. Vibratsionnaia mekhanika i vibratsionnaia reologiia [Vibration mechanics and vibration rheology] FIZMATLIT, Moscow, 2018, 752 p. Scholar
8.Arnold V.I. Mathematical understanding of nature. AMS, 2014, 168 p. Scholar
9.Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. Vol. 1 (3rd ed.), Butterworth-Heinemann, 1976. Scholar
10.Acheson D.J. A pendulum theorem. Proc. Roy. Soc., Lon-don, Ser. A., 1993, V. 443, pp.239-245. Scholar
11.Gordin Ya.D., Gribkov V.A. [On root causes of mismatch between theoretical and experimental stability domains of inverted regulated pendula]. XII All-Rusiian Conference of Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics. Vol. 1: General and Applied Mechanics. RITs BashGU, Ufa, 2019, pp. 65-68. Scholar
12.Gribkov V.A., Zatonenko Iu.V., Gordin Ya.D. Stabilization of the Reversed Vertical Position of the Pendulum by Vibration Ac-celeration (in the Form of a Meander) of the Pendulum Suspension AXIS. XLVI Akademicheskie chteniia po kosmonavtike. V. 4. – BAUMANPRESS. – Moscow. – 2022. – pp. 470-473. Scholar
13.Acheson D.J., Mullin T. Upside-down pendulums. Nature, 1993, 366, pp.215-216. Scholar
14.Awrejcewicz J., Wasilewski G., Kudra G., Reshmin S.A. An experiment with swinging up a double pendulum using feed-back control. Journal of Computer and Systems Sciences Interna-tional. 2012. Vol. 51. No.2. pp.176-182. Scholar
15.Anan'evskii I.M. The control of a three-link inverted pen-dulum near the equilibrium point. Mechanics of Solids. 2018. Vol. 53. No.S. pp.16-21. Scholar
16.Gribkov V.A., Khokhlov A.O. Ustoĭchivostʹ troĭnogo инвертированного физического маятника из статьи академика V.N. Chelomeя 1983 г. [Stability of the triple inverted physical pendulum described in the article of Academician V.N. Chelomey (1983)] Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Mashinostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Mech. Eng.], 2015, no. 6, pp. 33–49. Scholar
17.Vasilkov V.B. Vliianie vibratsii na nelineĭnye ėffekty v mekhanicheskikh sistemakh. Dis. dokt. tekhn. nauk [Influence of vibration on nonlinear effects in mechanical systems. Doctor dis-sertation in Technical Sciences] IPME RAS, St. Petersburg, 2009, 210 p. Scholar
18.Vasilkov V.B. Experimental investigation of nonlinear ef-fects in a vibrating rope // Advanced Problems in Mechanics. IPME RAS (Proceedings of XXXI Intern. Summer School Ad-vanced Problems in Mechanics) St. Pe-tersburg, 2004, pp.383-387. Scholar
19.Li M., Aoyama T., Hasegawa Y. Gait modification for improving walking stability of exoskeleton assisted paraplegic patient. Robomech J., 2020, Vol. 7, No. 21, doi: 10.1186/s40648-020-00169-y Scholar
20.Sergey I.I., Vinogradov A.A., Danilin A.N., Kurdyumov N.N. On modeling of overhead TLC galloping and parametric analysis of pendulum dampers efficiency. PNRPU Mechanics Bulletin, 2018, no. 4, pp. 256-265. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.23 Scholar
21.Morozov N.F., Belyaev A.K., Tovstik P.E. et al. Stability of a Vertical Rod on a Vibrating Support. Doklady Physics, 2018, Vol. 63, No. 9, pp.380-384. doi: 10.1134/S1028335818090069 Scholar
22.Kulizhnikov D.B., Tovstik P.E., Tovstik T.P. The Basin of Attraction in the Generalized Kapitsa Problem. Vestnik St. Peters-burg University, Mathematics. Pleiades Publishing, Ltd., 2019, Vol. 52. No. 3, pp. 309-316. doi: 10.1134/S1063454119030129 Scholar
23.Belyaev A.K., Morozov N.F., Tovstik P.E. et al. Classical Kapitsa’s problem of stability of an inverted pendulum and some generalizations. Acta Mechanica, 2021, Vol. 232, pp.1743-1759. doi: 10.1007/s00707-020-02907-0 Scholar
24.Seyranian A.A., Seyranian A.P. Chelomei's problem of the stabilization of a statically unstable rod by means of a vibra-tion. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, Vol. 72, No.6, pp.649-652. Scholar
25.Belyakov A.O., Seyranian A.P. Stability Boundary Ap-proximation of Periodic Dynamics // Nonlinear Dynamics of Structures, Systems and Devices – Proceedings of the 1st Interna-tional Nonlinear Dynamics Conference, NODYCON 2019 : 1, Rome, 17-20 February 2019. – Rome, 2020. – P. 13-23. – doi: 10.1007/978-3-030-34713-0_2 Scholar
26.Richards C.J., Smart T.J., Jones P.H. et al. A microscopic Kapitza pendulum. Scientific Reports, 2018, Vol. 8, No.13107. https://doi.org/10.1038/s41598-018-31392-8 Scholar
27.Guha P., Garai S. Integrable modulation, curl forces and parametric Kapitza equation with trapping and escaping. Nonlinear Dynamics, 2021, Vol. 106, pp. 3091-3100. https://doi.org/10.1007/s11071-021-06947-6 Scholar
28.Thomsen J.J. Special Effects of High-Frequency Excita-tion. In: Vibrations and Stability, Springer, 2021, pp.387-447. https://doi.org/10.1007/978-3-030-68045-9_7 Scholar
29.Belyaev A.K., Polyakova O.R., Tovstik T.P. Modelnaia zadacha ustoichivosti kolebaniĭ perevernutogo szhimaemogo v prodolʹnom napravlenii maiatnika na vibriruiushchem osnovanii [Model problem of stability of oscillations of an inverted longitu-dinally compressible pendulum on a vibrating base]. Беляев А.К., Полякова О.Р., Товстик Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 2 (2023) 78–87 Dinamicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsiĭ i sploshnykh sred [Dynamic and technological prob-lems of structural and continuous mechanics]. (Proceedings of the XXVIII International Symposium named after A.G. Gorshkov), 2022, Moscow, Т.2, pp.162-167. Scholar
30.Belyaev A.K., Polyakova O.R., Tovstik T.P. The Effect of Longitudinal Oscillations Resonance on Stability and Domains of Attraction in the Generalized Kapitsa Problem. Solid Mechanics, Theory of Elasticity and Creep. 2023, vol 185, pp. 93-100. https://doi.org/10.1007/978-3-031-18564-9_7 Scholar
31.Abramovits M., Stigan I. (eds.) Handbook of mathemati-cal functions. National Bureau of Standards. Applied mathematics series, 1964, Vol. 55. Scholar
32.Bogoliubov N.N., Mitropolski Y.A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations, New York: Gordon and Breach, 1961. Scholar

1.Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. – 1908. – Vol. 15. – Р. 233–236. Scholar
2.Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Бюл. физ. наук. – 1951. – Т. 44(1). – С. 7–20. Scholar
3.Капица П.Л. Электроника больших мощностей // Усп. физ. наук. – 1962. – Т. 78(2). – С. 181–265. Scholar
4.Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // Доклады АН СССР. – 1956. – Т. 110, No 3. – С. 345–347. Scholar
5.Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // Доклады АН СССР. – 1983. – Т. 270, No 1. – С. 62–67. Scholar
6.Блехман И.И. Вибрационная механика. – М.: Наука, 1994. Scholar
7.Блехман И.И. Вибрационная механика и вибрационная реология. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. – 752 с. Scholar
8.Арнольд В.И. Математическое понимание природы. – М.: МЦНМО, 2022. – 144 с. Scholar
9.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1988. – 216 с. Scholar
10.Acheson D.J. A pendulum theorem // Proc. Roy. Soc. London. – 1993. – Ser. A.V. 443. – Р. 239–245. Scholar
11.Гордин Я.Д., Грибков В.А. О причине рассогласования расчетных и экспериментальных областей устойчивости обращенных стабилизируемых маятников // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Т. 1: Общая и прикладная механика. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. – С. 65–68. Scholar
12.Грибков В.А., Затоненко Ю.В., Гордин Я.Д. Стабилизация обращенного вертикального положения маятника виброускорением (в форме меандра) оси подвеса маятника // XLVI Академические чтения по космонавтике. – Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. – Москва. – 2022. – Т. 4. – С. 470–473. Scholar
13.Acheson D.J., Mullin T. Upside-down pendulums // Nature. – 1993. – Vol. 366. – P. 215–216. Scholar
14.Эксперимент по раскачиванию двойного маятника управлением с обратной связью / Я. Аврейцевич, Г. Василевский, Г. Кудра, С.А. Решмин // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2012. – No 2. – С. 10–16. Scholar
15.Ананьевский И.М. Управление трехзвенным перевернутым маятником в окрестности положения равновесия // ПММ. – 2018. – Т. 82, вып. 2. – С. 149–155. Scholar
16.Грибков В.А., Хохлов А.О. Устойчивость тройного инвертированного физического маятника из статьи академика В.Н. Челомея 1983 г. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Машиностроение. – 2015. – No 6. – C. 33–49. Scholar
17.Васильков В.Б. Влияние вибрации на нелинейные эффекты в механических системах: дис. ... д-ра техн. наук. – СПб, 2008 / ИПМаш. РАН. СПб. – 2009. – 210 с. Scholar
18.Vasilkov V.B. Experimental investigation of nonlinear effects in a vibrating rope // Advanced Problems in Mechanics. Proceedings of XXXI Intern. Summer School. – 2004. – St. Pe-tersburg: IPME RAS. – Р. 383–387. Scholar
19.Li M., Aoyama T., Hasegawa Y. Gait modification for improving walking stability of exoskeleton assisted paraplegic patient. – Robomech J. – 2020. – Vol. 7, no. 21. DOI: 10.1186/s40648-020-00169-y Scholar
20.О моделировании пляски проводов воздушных ЛЭП и параметрическом анализе эффективности маятниковых гасителей / И.И. Сергей, А.А. Виноградов, А.Н. Данилин, Н.Н. Курдюмов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2018. – No 4. – С. 256–265. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.4.23 Scholar
21.Устойчивость вертикального стержня на вибрирующей опоре / Н.Ф. Морозов, А.К. Беляев, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // Доклады Академии наук. – 2018. – Т. 482, No 2. – С. 155–159. DOI: 10.31857/S086956520003166-5 Scholar
22.Кулижников Д.Б., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Области притяжения в обобщенной задаче Капицы // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Математика. Механика. Астрономия. – 2019. – Т. 6(64), вып. 3. – С. 482–492. Scholar
23.Classical Kapitsa’s problem of stability of an inverted pendulum and some generalizations / A.K. Belyaev, N.F. Moro-zov, P.E. Tovstik [et al.] // Acta Mechanica. – 2021. – Vol. 232. – P. 1743–1759. DOI: 10.1007/s00707-020-02907-0 Scholar
24.Сейранян А.А., Сейранян А.П. Задача Челомея о стабилизации статически неустойчивого стержня с помощью вибрации // Прикладная математика и механика. – 2008. – Т. 72, No 6. – С. 898–903. Scholar
25.Belyakov A.O., Seyranian A.P. Stability Boundary Ap-proximation of Periodic Dynamics // Nonlinear Dynamics of Structures, Systems and Devices: Proceedings of the 1st Interna-tional Nonlinear Dynamics Conference, NODYCON 2019: 1, Rome, 17-20 февраля 2019 года. – Rome, 2020. – P. 13–23. DOI: 10.1007/978-3-030-34713-0_2 Scholar
26.A microscopic Kapitza pendulum / C.J. Richards, T.J. Smart, P.H. Jones [et al.] // Scientific Reports. – 2018. – Vol. 8, no.13107. DOI: 10.1038/s41598-018-31392-8 Scholar
27.Guha P., Garai S. Integrable modulation, curl forces and parametric Kapitza equation with trapping and escaping // Nonlin-ear Dynamics. – 2021. – Vol. 106. – P. 3091–100. DOI: 10.1007/s11071-021-06947-6 Scholar
28.Thomsen J.J. Special Effects of High-Frequency Excita-tion. In: Vibrations and Stability. Springer. – 2021. – P. 387–447. DOI: 10.1007/978-3-030-68045-9_7 Scholar
29.Беляев А.К., Полякова О.Р., Товстик Т.П. Модельная задача устойчивости колебаний перевернутого сжимаемого в продольном направлении маятника на вибрирующем основа-нии // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы XXVIII Междуна-родного симпозиума им. А.Г. Горшкова. – 2022. – М.: ООО «ТРП», 2022. – Т. 2. – С. 162–167. Scholar
30.Belyaev A.K., Polyakova O.R., Tovstik T.P. The Effect of Longitudinal Oscillations Resonance on Stability and Domains of Attraction in the Generalized Kapitsa Problem. Solid Mechan-ics, Theory of Elasticity and Creep. – 2023. – Vol 185. – P. 93–100. DOI: 10.1007/978-3-031-18564-9_7 Scholar
31.Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с. Scholar
32.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимпто-тические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. – 408 с. Scholar

Article information

Published: 23 June 2023
Issue date: 23 June 2023
Issue: No. 2 (2023)