Dispersional dependences and peculiarities of energy transfer by flexible waves in a beam lying on a generalized elastic base

V.I. Erofeev, A.O. Lenin, E.E. Lisenkova, I.S. Tsarev

Author details

V.I. Erofeev
Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences, Nizhny Novgorod, Russian Federation; National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod, Russian Federation
A.O. Lenin
Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences, Nizhny Novgorod, Russian Federation
E.E. Lisenkova
Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences, Nizhny Novgorod, Russian Federation
I.S. Tsarev
Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences, Nizhny Novgorod, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.2.11

The dynamics of a Bernoulli – Euler beam lying on an elastic foundation is considered. A generalized model of an elastic foundation is selected, which includes two independent bedding coefficients: the stiffness of the foundation for tensile-compression deformation and for shear deformation. Unlike the classical elastic foundation model (Winkler's model), the generalized model takes into account the distribution capacity of the soil, i.e. its property to settle not only under the loaded area, under the foundation, but also near it. The beam is considered to be infinite. Such idealization is permissible if optimal damping devices are located on its boundaries, that is, the parameters of the boundary fixation are such that the perturbations falling on it will not be reflected. This makes it possible to consider the beam model without taking into account the boundary conditions, and consider vibrations propagating along the beam as traveling bending waves. The influence of a two-constant elastic foundation on the parameters of a bending wave propagating in a beam is studied. It is shown that with an increase in the shear stiffness of the elastic base, waves with the same wavenumber (i.e., waves of the same length) will have a higher frequency, higher phase and group velocities. For the system under consideration, the energy transfer equation is written in divergent form. It is shown that the average rate of energy transfer is equal to the group velocity of the flexural wave. The equality of these velocities serves as an additional factor indicating the internal physical consistency of the model of bending vibrations of a beam lying on a generalized elastic foundation.

Keywords

beamgeneralized elastic foundationflexural wavedispersionenergy transfer.

Дисперсионные зависимости и особенности переноса энергии изгибными волнами в балке, лежащей на обобщенном упругом основании

Рассматривается динамика балки Бернулли – Эйлера, лежащей на упругом основании. Выбирается обобщенная модель упругого основания, включающая в себя два независимых коэффициента постели: жесткости основания на деформации растяжения – сжатия и на деформации сдвига. В отличие от классической модели упругого основания (модель Винклера), обобщенная модель учитывает распределительную способность грунта, т.е. его свойство оседать не только под нагруженной областью, под фундаментом, но и вблизи него. Балка считается бесконечной. Такая идеализация допустима, если на ее границах находятся оптимальные демпфирующие устройства, то есть параметры граничного закрепления таковы, что падающие на него возмущения не будут отражаться. Это позволяет рассматривать модель балки без учета граничных условий, а вибрации, распространяющиеся по балке, считать бегущими изгибными волнами. Изучается влияние двухконстантного упругого основания на параметры изгибной волны, распространяющейся в балке. Показано, что при возрастании сдвиговой жесткости упругого основания волны, имеющие одинаковое волновое число (т.е. волны одинаковой длины) будут иметь большую частоту, большую фазовую и групповую скорости. Для рассматриваемой системы в дивергентной форме записано уравнение переноса энергии. Показано, что средняя скорость переноса энергии равняется групповой скорости изгибной волны. Равенство этих скоростей служит дополнительным фактором, свидетельствующим о внутренней физической непротиворечивости модели изгибных колебаний балки, лежащей на обобщенном упругом основании.

Ключевые слова

балкаобобщенное упругое основаниеизгибная волнадисперсияперенос энергии.

Bibliography

1.Winkler E. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit.Prague,1867 Scholar
2.Zimmerman H. Die Berechnung des Eisenbahnoberbauee. Berlin, 1888. Scholar
3.Wieghardt K. Uber den ralken auf nachgibiebigerunterlage. Zeitschriff fur AngewandteMathematik und Mechanik,1922, bd.2, h.3, s.165-184. Scholar
4.Filonenko-Borodich M.M. The simplest model of elastic foundation, capable of distributing the loads. Proceedings of the Moscow Electromechanacal Institute of Transport Endineers, 1945, no 53, pp. 92-108. (in Russian). Scholar
5.Hetenyi M.Beams on Elastic Foundations. University of Michigan Press,1946, 255 p. Scholar
6.Pasternak P.L. Fundamentals of a New Method for Calcula-tion Foundations on an Elastic Foundation using Two Coefficients, Moscow, Gosstroyizdat,1954, 56 p. (in Russian). Scholar
7.Vlasov V.Z., Leontiev N.N. Technical theory of calculating foundations on an elastic foundation, Proceedings of the Moscow Civil Engineering Institute, 1956, no 14 (154), pp.12-31. (in Russian). Scholar
8.Vlasov V.Z., Leontiev N.N. Beams, Plates, Shells on an Elastic Base. Moscow, State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1960, 492 p. (in Russian). Scholar
9.Reissner E. Selected Works in Applied Mechanics and Mathematics, Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, Massachu-setts, 1996. Scholar
10.Duplyakin I.A. The motion of a carriage with constant ve-locity along a beam of infinite length resting on a base with two elastic characteristics, Journal of Applied Mathematics and Me-chanics,1991, vol.55, no 3, pp.376-384. Scholar
11.Aleksandrov V.M., Duplyakin I.A. Dynamics of an end-less Timoshenko beam lying on a base with two elastic character-istics during the movement of a deformable crew. Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Solid Mechanics,1996, no1, pp.180-197. (in Russian). Scholar
12.Slivker V.I. To the question of the appointment of the char-acteristics of a two-parameter elastic base. Structural Mechanics and Calculation of Structures,1981, no1, pp.36-39. (in Russian). Scholar
13.Eisenberger M., Clastornik J. Beams on variable two-parameter elastic foundation.Computers and Structures,1986, vol. 23, pp.351-356. Scholar
14.Kurennov S.S. Model of a two-parameter elastic base in calculating the stress state of the adhesive joint. Electronic Journal "Proceedings of the Moscow Aviation Institute",2013, no 66, 7 p. www.mai.ru/science/trudy/ Scholar
15.Rao Ch.K., Rao L.B. Torsional post-buckling of a simply supported thin-walled open-section beam rasting on two-parameters foundation.Journal of Applied Mechanics and Tech-nical Physics,2018, vol.59, no 1, pp.176-184. Scholar
16.Wang T.M., Stephens J.E. Natural frequencies of Timo-shenko beams on Pasternak foundations, Journal of Sound and Vibration,1977, vol. 51, no 2, pp.149-155. Scholar
17.Wang T.M., Gagnon L.W. Vibrations of continuous Ti-moshenko beams on Winkler-Pasternak foundations. Journal of Sound and Vibration,1978, vol. 59, no 2, pp.211–220. Scholar
18.Kozel A.G. Displacements in a circular three-layer plate on a two-parameter. Mechanics. Research and Innovation, 2017, no10, pp.90-95. (in Russian). Scholar
19.Kozal A.G., Starovoitov E.I. The bending of an elastic circular sandwich plate on the Pasternak foundation. Mechanics of Composite Materials and Structures, 2018, vol.24, no 3, pp. 392-406. (in Russian). Scholar
20.Feng Q., Fu Sh., Wang Ch., Liu W.W. Analitical solution for fracture problem of stope roof based on Pasternak foundation model. Soil Mechanics and Foundation Engineering, 2019, vol. 56, no 2, pp.142-150. Scholar
21.Non-Destructive Testing: Handbook in 7 Volumes. Edited by V.V. Klyuev. Volume 3: Ultrasonic Testing. Moscow, Mashinostroenie.2004. 864 p. (in Russian). Scholar
22.Butova S.V., Gerasimov S.I., Erofeev, V.I., Kamchatnyi V.G. Stability of high-speed objects moving along a rocket track guide. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2015, vol. 44, no 1, pp.1–5. Scholar
23.Gerasimov S.I., Erofeev V.I., Kamchatnyi V.G., Odzerikho I.A. The Sliding Contact Condition in Stability Analy-sis of Stage Motion for a Rocket Sled Track Facility. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2018, vol. 47, no 3, pp.221–226. Scholar
24.Erofeev V.I., Lisenkova E.E., Tsarev I.S. Dynamic behav-ior of a beam lying on a generalized elastic foundation and subject to a moving load. Mechanics of. Solids, 2021, vol. 56, no 7, pp.1295–1306. Scholar
25.Vesnitskii A.I. Selected Works on Mechanics. Nizhny Novgorod, Nash Dom,2010. 248 p. (in Russian) Scholar
26.Babeshko V.A., Glushkov E.V., ZinchenkoZh.F. Dynam-ics of Inhomogeneous Linear Elastic Media. Moscow, Nauka. 1989. 344 p. (in Russian). Scholar
27.Gordon J.E. Structures: Or Why Things Don't Fall Down. Penguin Books, Harmondsworth, 1978. Scholar
28.Malkov V.P. Energy Intensity of Mechanical Systems. Nizhny Novgorod, Publishing House of Nizhny Novgorod Univer-sity. 1995. 258 p. (in Russian). Scholar
29.Umov N.A. Selected Works. Moscow - Leningrad, GITTL, 1950. 575 p. (in Russian). Scholar
30.Gerasimov S.I., Erofeev V.I. Problems of Wave Dynamics of Structural Elements. Sarov, RFNC-VNIIEF,2015. 254 p. (in Russian). Scholar

1.Winkler E. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. – Prague, 1867. Scholar
2.Zimmerman H. Die Berechnung des Eisenbahnoberbauee. – Berlin, 1888. Scholar
3.Wieghardt K. Uber den Ralken auf Nachgibiebiger Unterlage // Zeitschriff fur AngewandteMathematik und Mechanik. – 1922. – Bd. 2, H. 3. – S. 165–184. Scholar
4.Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого основания, способная распределять нагрузку // Труды Моск. электромех. ин-та инж. трансп. – 1945. – No 53. – С. 92–108. Scholar
5.Hetenyi M. Beams on Elastic Foundations. – University of Michigan Press, 1946. – 255 p. Scholar
6.Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. – М.: Госстройиздат, 1954. – 56 с. Scholar
7.Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Техническая теория расчета фундаментов на упругом основании // Труды МИСИ. – М.: Стройиздат, 1956. – Вып. 14 (154). – С. 12–31. Scholar
8.Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. – М.: Гос.изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. – 492 с. Scholar
9.Reissner E. Selected Works in Applied Mechanics and Mathematics. – Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, Massachu-setts, 1996. Scholar
10.Дуплякин И.А. Движение экипажа с постоянной скоростью по балке бесконечной длины, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками // Прикладная математика и механика. – 1991. – Т. 55, No 3. – С. 461–471. Scholar
11.Александров В.М., Дуплякин И.А. Динамика бесконечной балки Тимошенко, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1996. – No 1. – С. 180–197. Scholar
12.Сливкер В.И. К вопросу о назначении характеристик двухпараметрового упругого основания // Строительная механика и расчет сооружений. – 1981. – No 1. – С. 36–39. Scholar
13.Eisenberger M., Clastornik J. Beams on variable two-parameter elastic foundation // Computers and Structures. – 1986. – Vol. 23. – P. 351–356. Scholar
14.Куреннов С.С. Модель двухпараметрического упругого основания в расчете напряженного состояния клеевого соединения // Труды МАИ. – 2013. – No 66. – С. 7. www.mai.ru/science/trudy/ Scholar
15.Рао Ч.К., Рао Л.Б. Закритическое поведение тонко-стенной свободно опертой балки с открытым профилем поперечного сечения, покоящейся на двухпараметрической упругом основании, при ее кручении // Прикладная механика и техническая физика. – 2018. – Т. 59, No 1(347). – С. 204–213. Scholar
16.Wang T.M., Stephens J.E. Natural frequencies of Timo-shenko beams on Pasternak foundations // Journal of Sound and Vibration. – 1977. – Vol. 51, no 2. – P. 149–155. Scholar
17.Wang T.M., Gagnon L.W. Vibrations of continuous Ti-moshenko beams on Winkler-Pasternak foundations // Journal of Sound and Vibration. – 1978. – Vol. 59, no 2. – P. 211–220. Scholar
18.Козел А.Г. Перемещения в круговой трехслойной пластине на двухпараметрическом основании // Механика. Исследования и инновации. – 2017. – Вып. 10. – С. 90–95. Scholar
19.Козел А.Г., Старовойтов Э.И. Изгиб упругой трех-слойной круговой пластины на основании Пастернака // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2018. – Т. 24, No 3. – С. 392–406. Scholar
20.Analitical solution for fracture problem of stope roof based on Pasternak foundation model / Q. Feng, Sh. Fu, Ch. Wang, W.W. Liu // Soil Mechanics and Foundation Engineering. – 2019. – Vol. 56, no 2. – P. 142–150. Scholar
21.Неразрушающий контроль: справочник: в 7 т. / под ред. В.В. Клюева. – Т. 3: Ультразвуковой контроль. – М.: Ма-шиностроение, 2004. – 864 с. Scholar
22.Устойчивость движения высокоскоростных объектов по направляющим ракетного трека / С.В. Бутова, С.И. Гера-симов, В.И. Ерофеев, В.Г. Камчатный // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2015. – No 1. – С. 3–84. Scholar
23.Условие на скользящем контакте в анализе устойчи-вости движения ступени на ракетном треке / С.И. Герасимов, В.И. Ерофеев, В.Г. Камчатный, И.А. Одзерихо // Проблемы ма-шиностроения и надежности машин. – 2018. – No 3. – С. 21–27. Scholar
24.Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Царев И.С. Динами-ческое поведение балки, лежащей на обобщенном упругом ос-новании, с движущейся нагрузкой // Прикладная механика и механика. – 2021. – Т. 85, No 2. – С. 193–209. Scholar
25.Весницкий А.И. Избранные труды по механике. – Н. Новгород: Наш дом, 2010. – 248 с. Scholar
26.Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Дина-мика неоднородных линейно-упругих сред. – М.: Наука, 1989. – 344 с. Scholar
27.Гордон Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи. – М.: Мир, 1980. Scholar
28.Малков В.П. Энергоемкость механических систем. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1995. – 258 с. Scholar
29.Умов Н.А. Избранные сочинения. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. – 575 с. Scholar
30.Герасимов С.И., Ерофеев В.И. Задачи волновой дина-мики элементов конструкций. – Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2015. – 254 с. Scholar

Article information

Published: 23 June 2023
Issue date: 23 June 2023
Issue: No. 2 (2023)