Finite-difference analysis of plane-parallel and plane-radial flows in the elastic mode of liquid and gas filtration

M.O. Eremin, R.A. Bakeev, Yu.P. Stefanov, A.O. Chirkov, A. Pazhin

Author details

M.O. Eremin
Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation
R.A. Bakeev
Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation
Yu.P. Stefanov
Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation
A.O. Chirkov
Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation
A. Pazhin
Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2024.3.08

The theory of filtration of liquids and gases through porous media has historically been used to solve a large number of applied problems – from the movement of groundwater to the regular- ities of consolidation of biological tissues. This work examines two basic problems of the physics of oil and gas reservoirs – plane-parallel and plane-radial flows of liquid and ideal gas. Darcy’s linear law is used as the equation of fluid motion. The constitutive equations for the skeleton include a term that takes account of the effect of fluid pressure on its deformation. In turn, the constitutive equations for the fluid take account of the influence of the skeleton on the compress- bility of the fluid. In this way, a coupled problem is formulated for the elastic regime of fluid filtra- tion. The model is verified based on analytical solutions, as well as numerical solutions obtained by other authors. It is shown that the obtained numerical solutions, namely the distributions of pore pressure, filtration rates and mass flow rates, coincide with high accuracy with analytical solutions. Additionally, fluid filtration through a quasi-isotropic medium is considered. It is shown that the presence of a layer with reduced permeability does not lead to nonlinearity in the velocity distribution for liquids and in the product of density and velocity for gas, but their values de- crease. The pressure distribution profile, on the contrary, changes abruptly when moving from layer to layer. Formulas are proposed for determining the effective permeability of a medium based on numerical simulation data of a plane-parallel flow. The results obtained can be used in calculating the operating parameters of oil and gas fields.

Keywords

Darcy's lawfiltrationelastic modefluidpore pressurenumerical modelingpermeability

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО И ПЛОСКОРАДИАЛЬНОГО ПОТОКОВ ПРИ УПРУГОМ РЕЖИМЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Теория фильтрации жидкостей и газов через пористые среды исторически применялась для решения большого количества прикладных проблем – от движения подземных вод до зако- номерностей консолидации биологических тканей. В работе рассмотрены две базовые задачи физики нефтяного и газового пластов – плоскопараллельный и плоскорадиальный потоки жидко- сти и идеального газа через пористый деформируемый скелет. В качестве уравнения фильтра- ции флюидов применяется линейный закон Дарсий. Определяющие соотношения для скелета включают в себя член, учитывающий влияние флюидного давления на его деформацию. В свою очередь определяющие соотношения для флюида учитывают влияние скелета на сжимаемость флюида. Таким образом, сформулирована связанная задача при упругом режиме фильтрации флюида. В работе выполнена верификация модели на основе аналитических решений, а также численных решений, полученных другими авторами. Показано, что полученные численные ре- шения, а именно распределения порового давления, скоростей фильтрации и массовых расхо- дов с высокой точностью совпадают с аналитическими решениями. Дополнительно рассмотрена фильтрация флюида через квазиизотропную среду. Показано, что наличие слоя с пониженной проницаемостью не приводит к нелинейности в распределении скорости для жидкости и в про- изведении плотности на скорость для газа, однако их значение при этом снижается. Профиль распределения давления, напротив, скачкообразно меняется при переходе от слоя к слою. Предложены новые формулы для определения эффективной проницаемости квазиизотропной среды на основе данных численного моделирования плоскопараллельного потока. Полученные результаты могут найти применение при расчете параметров эксплуатации нефтяных и газовых месторождений.

Ключевые слова

закон Дарсийфильтрацияупругий режимфлюидпоровое давлениечисленное моделированиепроницаемость

Bibliography

1.Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. – Paris, 1856. – 647 p. Scholar
2.Knyazeva, A.G., Nazarenko, N.N. Coupled Model of a Biological Fluid Filtration Through a Flat Layer with Due Account for Barodiffusion // Transport in Porous Media – 2022. – V.141 – pp. 331-358. doi: 10.1007/s11242-021-01720-0 Scholar
3.Baryshnikov N.A., Zenchenko E.V., Turuntaev S.B. Primenenie metoda reguliarizatsii kvadratichnogo otkloneniia dlia analiza rezul'tatov laboratornykh issledovanii nelineinykh fil'tratsi- onnykh potokov [Nonlinear flow computation using total-variation regularization] // Dinamicheskie protsessy v geosferakh. – 2022 – V. 14, No 1. – pp. 85-92. Scholar
4.Basniev K.S., Kochina I.N., Maksimov V.M. Podzemnaia gidromehkanika. Uchebnik dlia VUZov [Underground Fluid Mechanics]. – M.: Nedra, 1993. – 416 p. Scholar
5.Borkhovich S.Iu., Pchel'nikov I.V., Kolesova S.B. Pod- zemnaia gidromehkanika: uchebno-metodicheskoe posobie [Un- derground hydromechanics: educational and methodological manual]. – Izhevsk: izdatel'skii tsentr «Udmurtskii universitet», 2017. – 176 p. Scholar
6.Emikh, V.E. Razvitie metodov kompleksnogo analiza v zadachakh teorii fil'tratsii // Prikladnaia mekhanika i tekhniches- kaia fizika [Development of methods of comprehensive analysis in problems of filtration theory]. – 2015. – No56(5), pp. 130-138. Doi: 10.15372/PMTF20150511 Scholar
7.Artamonova, N.B., Sheshenin, S.V. Finite element imple- mentation of a geometrically and physically nonlinear consolida- tion model // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2023. – V. 35, No. 4. – pp.1291–1308. doi: 10.1007/s00161-022-01124-5 Scholar
8.Eremina G.M., Smolin A.Yu. Numerical study of the mechanical behavior of the hip joint under therapeutic acoustic impact // Russian Journal of Biomechanics. – 2023. – No. 1. – pp. 32–44. Scholar
9.Sheshenin, S.V., Artamonova, N.B. The Simulation of the Nonlinear Consolidation of Porous Media // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2022. – No. 1. – pp. 167–176. doi: 10.15593/perm.mech/2022.1.13 Scholar
10.Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media // Soil Science. – 1946. – Vol. 46, no. 2 – 770 p. Scholar
11.Leybenzon L.S. Dvizhenie prirodnykh zhidkostey i gazov v poristoy srede [Movement of natural liquids and gases in a porous medium]. Moscow-Leningrad, OGIZ Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1947, 244 p. Scholar
12.Khristianovich S.A. O dvizhenii gazirovannoy zhidkosti v poristykh porodakh [On the movement of carbonated liquid in porous rocks]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1941, vol. 10, no. 2, pp. 277-282. Scholar
13.Nikolaevskiy V.N. K postroeniyu nelineynoy teorii uprugogo rezhima fil'tratsii zhidkosti i gazov [Towards the construction of a nonlinear theory of the elastic regime of liquid and gas filtration]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 1961, no. 4, pp. 67-76. Scholar
14.Shchelkachev V.N. Osnovnye uravneniya uprugoy zhidkosti v uprugoy poristoy srede [Basic equations of an elastic fluid in an elastic porous medium]. Doklady AN SSSR, 1946, vol. 52, no. 2, pp. 103-106. Scholar
15.Charnyy I.A. Podzemnaya gidrogazodinamika [Underground hydrogasdynamics]. Moscow, Gostoptekhizdat, 1963, 397 p. Scholar
16.Kovalenko Yu.F., Khristianovich S.A. Elastic regime for exploiting an oil field. Soviet Mining Science, 1991, vol. 27, no. 1, pp. 15-32. DOI: 10.1007/BF02499682 Scholar
17.Vasil'eva M.V., Prokof'ev G.A. Chislennoe reshenie zadachi dvukhfaznoy fil'tratsii s neodnorodnymi koeffitsientami metodom konechnykh elementov [Numerical solution of the two-phase filtration problem with heterogeneous coefficients using the finite element method]. Matematicheskie zametki SVFU, 2017, vol. 24, no. 2, pp. 46-62. Scholar
18.Kapustyanskii S.M., Nikolaevskii V.N., Zhilenkov A.G. Nonholonomic model of deformation of highly porous sandstone under its internal crushing. Izvestiya, Physics of the solid earth, 2010, vol. 46, no. 12, pp. 82-93. Scholar
19.Maciel B. et al. Effectiveness of embedded discontinuities technique in capturing geomechanical behavior in naturally fractured reservoirs. Journal of Petroleum Exploration and Production Technology, 2024, vol. 14, pp. 665-691. DOI: 10.1007/s13202-023-01735-x Scholar
20.Khashper A.L. et al. Issledovanie zavisimosti pronitsaemosti gornoy porody ot ee napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya [Research of dependence of rock permeability on its stress-strain state]. Geologicheskiy vestnik, 2019, no. 1, pp. 133-140. doi: 10.31084/2619-0087/2019-1-10 Scholar
21.Panteleev I.A. et al. The Kaiser effect under multiaxial nonproportional compression of sandstone. Doklady Physics, 2020, vol. 65, pp. 396-399. DOI: 10.1134/S1028335820110075 Scholar
22.Gao Q. et al. A critical review of coal permeability models. Fuel, 2022, vol. 326, 125124 p. DOI: 10.1016/j.fuel.2022.125124 Scholar
23.Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation. Journal of Applied Physics, 1941, vol. 12, pp. 155-164. DOI: 10.1063/1.1712886 Scholar
24.Rice J.R. Pore pressure effects in inelastic constitutive formulations for fissured rock masses. Advances in Civil Engineering through Engineering Mechanics, New York, 1977, pp. 360-363. Scholar
25.Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of poroelasticity. In Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice and Projects, Pergamon Press, Oxford, 1993, vol. 2, pp. 113-171. Scholar
26.Rudnicki J.W. Coupled deformation-diffusion effects in the mechanics of faulting and failure of geomaterials. Applied Mechanics Review, 2002, vol. 54, no. 6, pp. 483-502. Scholar
27.Cheng A.H.-D. Fundamental Solution and Integral Equation. Poroelasticity, 2016, vol. 27, pp. 397-473. DOI: 10.1007/978-3-319-25202-5_8 Scholar
28.Smolin A.Iu., Eremina G.M. O vliianii fluidonasyshchennosti poristogo pokrytiia na mekhanicheskoe povedenie sistemy pokrytie – podlozhka pri kontaktnom nagruzhenii [The Effect of Fluid-Saturation on Mechanical Behavior of the Coating-Substrate System under Contact Loading]. Izvestiia vuzov. Fizika, 2020, no. 9. doi: 10.17223/00213411/63/9/80 Scholar
29.Shilko E.V., Konovalenko I.S., Konovalenko I.S. Nonlinear Mechanical Effect of Free Water on the Dynamic Compressive Strength and Fracture of High-Strength Concrete. Materials, 2021, vol. 14, pp. 4011. DOI: 10.3390/ma14144011 Scholar
30.Balokhonov R.R. et al. Deformation and Fracture Behavior of Particle-Reinforced Metal Matrix Composites and Coatings. Physical Mesomechanics, 2022, vol. 25, no. 6, pp. 492-504. doi: 10.1134/S1029959922060029 Scholar
31.Radchenko P.A., Batuvev S.P., Radchenko A.V., Effect of Projectile Rotation on High-Velocity Impact Fracture. Physical Mesomechanics, 2022, vol. 25, no. 2, pp. 119-128. Scholar
32.Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Pheno- mena. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1999, 246 p. Scholar
33.Trusov, P.V., Kondratev, N.S., Shveykin, A.I. O geomet- richeski nelineynykh opredelyayushchikh sootnosheniyakh uprugogo materiala // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2015. – No. 3. – pp. 182–200. doi: 10.15593/perm.mech/2015.3.13 Scholar
34.Zhukovskii N. E. Sobranie sochinenii. Tom Z. – M.-L.: Goslitzidat, 1949. – 700 p. Scholar
35.Dimaki A.V. Nelineinye zakonomernosti kontaktnogo vzaimodeistviia nemetallicheskikh materialov, obuslovlennye viazkost'iu i razrusheniem, dissertatsiia na soiskanie uchenoi stepeni doktora fiziko-matematicheskikh nauk [Nonlinear patterns of contact interaction of non-metallic materials due to viscosity and destruction, PhD thesis], Tomsk, 2017, 214 p. Scholar
36.Nematov, A., Nazitova, E.S., Sadikov, R.T. On numerical method for modeling oil filtration problems in piecewise- inhomogeneous porous medium // IOP Conference Series: Materi- als Science and Engineering – 2021. – V.1032, No. 012018. doi:10.1088/1757-899X/1032/1/012018 Scholar

1.Darcy, H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon / H. Darcy. – Paris, 1856. – 647 p. Scholar
2.Knyazeva, A.G. Coupled model of a biological fluid filtration through a flat layer with due account for barodiffusion / A.G. Knyazeva, N.N. Nazarenko // Transport in Porous Media – 2022. – Vol. 141 – P. 331–358. DOI: 10.1007/s11242-021-01720-0 Scholar
3.Барышников, Н.А. Применение метода регуляризации квадратичного отклонения для анализа результатов лабора- торных исследований нелинейных фильтрационных потоков / Н.А. Барышников, Е.В. Зенченко, С.Б. Турунтаев // Динами- ческие процессы в геосферах. – 2022 – Т. 14, № 1. – С. 85–92. Scholar
4.Басниев, К.С. Подземная гидромеханика: учебник для вузов / К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. – М.: Недра, 1993. – 416 с. Scholar
5.Борхович, С.Ю. Подземная гидромеханика: учебно- методическое пособие / С.Ю. Борхович, И.В. Пчельников, С.Б. Колесова. – Ижевск: Издательский центр «Удмуртский университет», 2017. – 176 с. Scholar
6.Эмих, В.Е. Развитие методов комплексного анализа в задачах теории фильтрации / В.Е. Эмих // Прикладная механика и техническая физика. – 2015. – № 56(5). – С. 130– 138. DOI: 10.15372/PMTF20150511 Scholar
7.Artamonova, N.B. Finite element implementation of a ge- ometrically and physically nonlinear consolidation model / N.B. Artamonova, S.V. Sheshenin // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2023. – Vol. 35, no. 4. – P. 1291–1308. DOI: 10.1007/s00161-022-01124-5 Scholar
8.Еремина, Г.М. Численное исследование механического поведения тазобедренного сустава при терапевтическом акустическом воздействии / Г.М. Еремина, А.Ю. Смолин // Российский Журнал Биомеханики. – 2023. – № 1. – С. 32–44. Scholar
9.Шешенин, С.В. Моделирование нелинейной консоли- дации пористых сред / С.В. Шешенин, Н.Б. Артамонова // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2022. – № 1. – С. 167–176. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.1.13 Scholar
10.Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media // Soil Science. – 1946. – Vol. 46, no. 2 – 770 p. Scholar
11.Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон. – М.-Л.: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литера- туры, 1947. – 244 с. Scholar
12.Христианович, С.А. О движении газированной жид- кости в пористых породах / С.А. Христианович // Прикладная математика и механика. – 1941. – Т. 10, № 2. – С. 277–282. Scholar
13.Николаевский, В.Н. К построению нелинейной тео- рии упругого режима фильтрации жидкости и газов / В.Н. Ни- колаевский // Прикладная механика и техническая физика. – 1961. – № 4. – С. 67–76. Scholar
14.Щелкачев, В.Н. Основные уравнения упругой жид- кости в упругой пористой среде / В.Н. Щелкачев // Доклады АН СССР. – 1946. – Т. 52. № 2. – С. 103–106. Scholar
15.Чарный, И.А. Подземная гидрогазодинамика / И.А. Чарный. – М.: Гостоптехиздат, 1963. – 397 с. Scholar
16.Kovalenko, Yu.F. Elastic regime for exploiting an oil field / Yu.F. Kovalenko, S.A. Khristianovich // Soviet Mining Science – 1991. – Vol. 27, no. 1. – P. 15–32. DOI: 10.1007/BF02499682 Scholar
17.Васильева, М.В. Численное решение задачи двухфаз- ной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов / М.В. Васильева, Г.А. Прокофьев // Математические заметки СВФУ. – 2017. – Т. 24, № 2. – С. 46–62. Scholar
18.Kapustyanskii, S.M. Nonholonomic model of deforma- tion of highly porous sandstone under its internal crushing / S.M. Kapustyanskii, V.N. Nikolaevskii, A.G. Zhilenkov // Izvestiya, Physics of the solid earth – 2010. – Vol. 46, no. 12. – P. 82–93. Scholar
19.Effectiveness of embedded discontinuities technique in capturing geomechanical behavior in naturally fractured reservoirs / B. Maciel [et al.] // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology. – 2024. – Vol. 14 – P. 665–691. DOI: 10.1007/s13202-023-01735-x Scholar
20.Исследование зависимости проницаемости горной породы от ее напряженно-деформированного состояния / А.Л. Хашпер [и др.] // Геологический вестник. – 2019. – № 1 – С. 133–140. DOI: 10.31084/2619-0087/2019-1-10 Scholar
21.The Kaiser effect under multiaxial nonproportional compression of sandstone / I.A. Panteleev [et al.] // Doklady Physics. – 2020. – Vol. 65 – P. 396–399. DOI: 10.1134/S1028335820110075 Scholar
22.A critical review of coal permeability models / Q. Gao [et al.] // Fuel. – 2022. – Vol. 326. – 125124 p. DOI: 10.1016/j.fuel.2022.125124 Scholar
23.Biot, M.A. General theory of three-dimensional consolidation / M.A. Biot // Journal of Applied Physics. – 1941. – Vol. 12. – P. 155–164. DOI: 10.1063/1.1712886 Scholar
24.Rice, J.R. Pore pressure effects in inelastic constitutive formulations for fissured rock masses / J.R. Rice // Advances in Civil Engineering through Engineering Mechanics. – New York, 1977. – P. 360–363. Scholar
25.Detournay, E. Fundamentals of poroelasticity / E. De- tournay, A.H.-D. Cheng // Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice and Projects – Pergamon Press: Oxford – 1993. – Vol. 2. – P. 113–171. Scholar
26.Rudnicki, J.W. Coupled deformation-diffusion effects in the mechanics of faulting and failure of geomaterials / J.W. Rudnicki // Applied Mechanics Review. – 2002. – Vol. 54, no. 6. – P. 483–502. Scholar
27.Cheng, A.H.-D. Fundamental solution and integral equation / A.H.-D. Cheng // Poroelasticity. – 2016. – Vol. 27. – P. 397–473. DOI: 10.1007/978-3-319-25202-5_8 Scholar
28.Смолин, А.Ю. О влиянии флюидонасыщенности по- ристого покрытия на механическое поведение системы покры- тие – подложка при контактном нагружении / А.Ю. Смолин, Г.М. Еремина // Известия вузов. Физика – 2020 – № 9. DOI: 10.17223/00213411/63/9/80 Scholar
29.Shilko, E.V. Nonlinear mechanical effect of free water on the dynamic compressive strength and fracture of high- strength concrete / E.V. Shilko, I.S. Konovalenko, I.S. Konovalenko // Materials. – 2021. – Vol. 14. – P. 4011. DOI: 10.3390/ma14144011 Scholar
30.Deformation and fracture behavior of particle-reinforced metal matrix composites and coatings / R.R. Balokhonov [et al.] // Physical Mesomechanics. – 2022. – Vol. 25, no. 6. – P. 492–504. DOI: 10.1134/S1029959922060029 Scholar
31.Radchenko, P.A. Effect of projectile rotation on high- velocity impact fracture / P.A. Radchenko, S.P. Batuve, A.V. Radchenko // Physical Mesomechanics. – 2022. – Vol. 25, no. 2. – P. 119–128. Scholar
32.Wilkins, M.L. Computer simulation of dynamic pheno- mena / M.L. Wilkins. – Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1999. – 246 p. Scholar
33.Трусов, П.В. О геометрически нелинейных опреде- ляющих соотношениях упругого материала / П.В. Трусов, Н.С. Кондратьев, А.И. Швейкин // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2015. – № 3. – С. 182–200. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.13 Scholar
34.Жуковский, Н.Е. Собрание сочинений / Н.Е. Жуков- ский. – М.-Л.: Гослитиздат, 1949. – Т. 3. – 700 с. Scholar
35.Димаки, А.В. Нелинейные закономерности контакт- ного взаимодействия неметаллических материалов, обуслов- ленные вязкостью и разрушением: дис. … д-ра физ.-мат. наук / А.В. Димаки. – Томск, 2017. – 214 с. Scholar
36.Nematov, A. On numerical method for modeling oil filtra- tion problems in piecewise-inhomogeneous porous medium / A. Nematov, E.S. Nazitova, R.T. Sadikov // IOP Conference Se- ries: Materials Science and Engineering – 2021. – Vol. 1032, no. 012018. DOI: 10.1088/1757-899X/1032/1/012018 Scholar

Article information

Published: 5 September 2024
Issue date: 5 September 2024
Issue: No. 3 (2024)