Microstructural models of multi-mechanisms of inelastic deformation: basic equations and application examples

Artem S. Semenov, Alexey I. Grishchenko, Inar R. Murtazin

Author details

Artem S. Semenov
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation
Alexey I. Grishchenko
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation
Inar R. Murtazin
Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation

https://doi.org/10.15593/perm.mech/2025.5.08

By analogy with phenomenological models of multi-mechanisms of inelastic deformation, microstructural models of multi-mechanisms are proposed to describe the behavior of single-crystal and polycrystalline materials. Along with the general formalism for accounting for the mutual influence of various deformation and hardening mechanisms, two simplified versions of the theory are considered in detail: (i) multiphase models without taking into account the mutual influence of hardening mechanisms, (ii) single-phase models taking into account the mutual influence of hardening mechanisms. The proposed models take into account various slip systems, the presence of linear and nonlinear isotropic and kinematic hardening, and use various scalar internal variables to describe them. Both two-term and three-term laws of evolution of internal variables are considered, ensuring the presence of both a horizontal asymptote on the strain-stress curve and an inclined one corresponding to asymptotic linear hardening. The thermodynamic consistency of the models under consideration is investigated. The results of verification of the proposed model and methods for identifying material parameters are presented.

Keywords

crystal plasticity and viscoplasticitymicromechanical modelsoctahedral slip systemscubic slip systemscrystallographic orientation.

МИКРОСТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ МУЛЬТИМЕХАНИЗМОВ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ: ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

По аналогии с феноменологическими моделями мультимеханизмов неупругого деформирования предложены микроструктурные модели мультимеханизмов неупругого деформирования для описания поведения монокристаллических и поликристаллических металлических материалов. Наряду с общим формализмом учета взаимного влияния различных механизмов деформирования и упрочнения детально рассматриваются два упрощенных варианта теории: (i) многофазные модели без учета взаимного влияния механизмов упрочнения, (ii) однофазные модели с учетом взаимного влияния механизмов упрочнения. Предложенные модели учитывают комбинации различных систем скольжения, нелинейное изотропное и кинематическое упрочнение, используя для их описания скалярные внутренние переменные. Рассматриваются как двучленные, так и трехчленные законы эволюции внутренних переменных, обеспечивающие наличие как горизонтальной асимптоты на диаграмме деформирования, так и наклонной, соответствующей асимптотическому линейному упрочнению. Исследована термодинамическая состоятельность рассматриваемых моделей материала. Представлены результаты верификации предложенной модели и методы идентификации параметров микроструктурной модели неупругого деформирования материала как при испытании монокристаллических сплавов на никелевой основе АМ1 и PWA1480, так и поликристаллических образцов из технически чистого никеля НП2.

Ключевые слова

пластичность и вязкопластичность монокристалловмикроструктурные моделиоктаэдрические системы скольжениякубические системы скольжениякристаллографическая ориентация.

Bibliography

1.Cailletaud G., Saï K. Study of plastic/viscoplastic models with various inelastic mechanisms. Int. J. Plast. 1995. Vol. 11, pp. 991–1005. Scholar
2.Taleb L., Cailletaud G., Blaj L. Numerical simulation of complex ratcheting tests with a multi-mechanism model type. Int. J. Plast. 2006. Vol. 22, pp. 724–753. Scholar
3.Saï K., Cailletaud G. Multi-mechanism models for the description of ratcheting: effect of the scale transition rule and of the coupling between hardening variables. Int. J. Plast. 2007. Vol. 23, pp. 1589–1617. doi:10.1016/j.ijplas.2007.01.011 Scholar
4.Wolff M., Taleb L. Consistency for two multi-mechanism models in isothermal plasticity. Int. J. Plast. 2008. Vol. 24, pp. 2059–2083. Scholar
5.Taleb L., Cailletaud G. An updated version of the multi-mechanism model for cyclic plasticity. Int. J. Plast. 2010. Vol. 26. no 6, pp. 859–874. Scholar
6.Saï, K. Multi-mechanism models: present state and future trends. Int. J. Plast. 2011. Vol. 27, pp. 250–28. doi: 10.1016/j.ijplas.2010.05.003 34. Scholar
7.Xu Y., Lu X., Yang X., Li W. et al. Temperature-dependent, multi-mechanism crystal plasticity reveals the deformation and failure behaviour of multi-principal element alloys. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2024. Vol. 185. 105549. Scholar
8.Asaro R.J. Crystal plasticity. Journal of Applied Mechanics, 1983, Vol. 50, no. 4b, pp. 921-934. Scholar
9.Cailletaud G. A micromechanical approach to inelastic behavior of metals. International Journal of Plasticity, 1992, Vol. 8, №. 1, pp. 55–73. Scholar
10.Trusov P.V., Shveykin A.I. Multilevel physical models of single-and polycrystals. Statistical models. Phys. Mesomech, 2013, Vol. 16, no. 1, pp. 23-33. Scholar
11.Trusov P.V., Shveykin A.I. Mnogourovnevye model mono- i polikristallicheskikh materialov: theory, algorithm, primery primeneniya / [Multilevel models of single- and polycrystalline materials: theory, algorithms, examples of application]. Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 2019. 605 p. Scholar
12.Grishchenko A.I., Semenov A.S. Modeling of the elastoplastic deformation process of single crystal superalloys. PNRPU Mechanics Bulletin, 2022, no. 2, pp. 58-72. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.2.06 Scholar
13.Besson J., Cailletaud G., Chaboche J-L., Forest S. Non-linear mechanics of materials, Springer Science & Business Media, 2009. 433 p. Scholar
14.Semenov A.S., Grishchenko A.I., Kolotnikov M.Ye., Getsov L.B. Konechno-elementnyi analiz termotciclicheskoi prochnosti lopatok gazovykh turbin chast` l. Modeli materiala, kriterii razrusheniia, identifikaciiia parametrov / [Finite-element analysis of thermal fatigue of gas turbine blades. Part 1. Material models, fracture criteria, parameter identification]. Vestnyek Ufimskogo gosudarstvennogo aviacionnogo tekhnicheskogo universiteta, 2019, Vol. 23, no. 1, pp. 70–81. Scholar
15.Shalin R.E., Svetlov I.L., Kachanov E.B., Toloraiia V.N., Gavrilin O.S. Monokristally nikelevykh zharoprochnykh splavov [Single crystals of nickel-based superalloys]. Moscow, Mashinostroenie, 1997, 333 p. Scholar
16.Inozemtsev A.A. Dvigatel' PD-14 - budushcheye rossiyskogo aviaproma [Engine PD-14 - the future of the Russian aviation industry]. Innovations. JSC "Transfer-Innovations", 2013, V. 12, №. 182, pp. 77–80. Scholar
17.Inozemtsev A.A. O programme sozdaniya aviatsionnykh gazoturbinnykh dvigateley pyatogo pokoleniya dlya semeystva samoletov MS-21 [On the program for the creation of fifth-generation aircraft gas turbine engines for the MS-21 aircraft family]. Bulletin of the Perm Federal Research Center. 2010, №. 4, pp. 28–46. Scholar
18.Kablov E.N., Toloraiya V.N., Orekhov N.G. Monokristallicheskie nikelevye renii' soderzhashchie splavy dlia turbinnykh lopatok GTD [Single crystal rhenium-containing nickel alloys for turbine engine blades]. Metallovedenie i termicheskaia obrabotka metallov. 2002, no. 7, pp. 7–11. Scholar
19.Naze L., Maurel V., Eggeler G., Cormier J., Cailletaud G. Nickel base single crystals across length scales. Elsevier, 2021. 610 p. Scholar
20.Kablov E.N., Petrushin N.V., Eliutin E.S. Monokristallicheskie zharoprochnye splavy dlia gazoturbinnykh dvigatelei [Single-crystal superalloys for gas turbine engines]. Vestnik Moskovskogo gosud. tekhnicheskogo universiteta im. N.E. Baumana. Seriia «Mashinostroenie», 2011, no. SP2, pp. 38–52. Scholar
21.Semenov A.S., Beliaev M.O., Grishchenko A.I. Modelirovanie protsessa vozniknoveniia oval`nosti poperechnogo secheniia obrazctov iz monokristallicheskikh zharoprochnykh nikelevykh splavov pri rastiazhenii [Modeling of cross-section ovality of single crystal nickel-based superalloy samples under tension]. PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no. 2, pp. 153–177. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.09 Scholar
22.Svetlov I.L. et al. Temperature-orientation dependences of the characteristics of short-term strength, Young's modulus, and the coefficient of linear expansion of single crystals of ZhS6F alloy. Strength of Materials. 1987, Vol. 1, pp. 51-55. Scholar
23.Krivko A.I. et al. Elastic properties of single crystals of nickel alloys. Strength of Materials. 1988, Vol. 20, no. 2, pp. 214-223. Scholar
24.Svetlov I.L. et al. Anisotropy of Poisson's ratio of single crystals of nickel alloy. Soviet Physics Doklady, 1988, Vol. 33, pp. 771. Scholar
25.Luo C., Yuan H. Anisotropic thermomechanical fatigue of a nickel-base single-crystal superalloy Part I: Effects of crystal orientations and damage mechanisms. International Journal of Fatigue. 2023. Vol. 168. pp. 107438. Scholar
26.Luo C., Yuan H. Life assessment of anisotropic low cycle fatigue of nickel-base single crystal superalloy. International Journal of Fatigue. 2023. Vol. 167. pp. 107310. Scholar
27.Bondar V.S. Inelasticity. Theory Variants. Fizmatlit, 2004, 144 p. Scholar
28.Palmov V.A. Nonlinear Mechanics of deformable solid bodies. St. Petersburg: SPbSPU Publishing House, 2014, 792 p. Scholar
29.Meric L., Poubanne P., Cailletaud G. Single crystal modelling for structural calculations: Part I – Model presentation. Journal of Mechanical Design, 1991, Vol. 113, pp. 162–170. Scholar
30.Reed R. C. The Superalloys: Fundamentals and Applications. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 372 p. Scholar
31.Semenov A.S. PANTOCRATOR – konechno-elementnyi programmyi kompleks, orientirovannyi na reshenie nelineinykh zadach mehaniki [PANTOCRATOR – the finite element program specialized on the non-linear problem solution], in Proc. of the Vth Int. Conf. on scientific and engineering problems of predicting the reliability and service life of structures. St. Petersburg, 2003, pp. 466-480. Scholar
32.Murtazin I.R., Melnikov B.E., Semenov A.S. Simulation of inelastic response of polycrystalline nickel based on micromechanical model homogenization // Advanced Problem in Mechanics III: Proc. of the XLIX Int. Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics". 2023. P. 427–444. DOI: 10.1007/978-3-031-37246-9. Scholar
33.MATLAB Documentation. 2025. URL: https://www.mathworks.com/help/matlab (online; accessed: 2025-09-09). Scholar
34.Gasnikov A.V. Modern numerical optimization methods. The universal gradient descent method: a tutorial. Moscow: MIPT, 2018. 291 p. ISBN: 978-5-7417-0667-1. Scholar
35.Pearson K. Notes on regression and inheritance in the case of two parents. Proceedings of the Royal Society of London. 1895. P. 240–242. Scholar
36.Semenova A.A., Grishchenko A.I., Semenov A.S. Influence of the crystallographic orientation of FCC single crystals on plastic strain under uniaxial monotonic and cyclic thermomechanical loading. PNRPU Mechanics Bulletin, 2023, no. 5, pp. 81-98. DOI: 10.15593/perm.mech/2023.5.08 Scholar

1.Caillteaud, G. Study of plastic/viscoplastic models with various inelastic mechanisms / G. Caillteaud, K. Saï // Int. J. Plast. – 1995. – Vol. 11. – P. 991–1005. Scholar
2.Taleb, L. Numerical simulation of complex ratcheting tests with a multi-mechanism model type / L. Taleb, G. Caillteaud, L. Blaj // Int. J. Plast. – 2006. – Vol. 22. – P. 724–753. Scholar
3.Saï, K. Multi-mechanism models for the description of ratcheting: effect of the scale transition rule and of the coupling between hardening variables / K. Saï, G. Caillteaud // Int. J. Plast. – 2007. – Vol. 23. – P. 1589–1617. DOI: 10.1016/j.ijplas.2007.01.011 Scholar
4.Wolff, M. Consistency for two multi-mechanism models in isothermal plasticity / M. Wolff, L. Taleb // Int. J. Plast. – 2008. – Vol. 24. – P. 2059–2083. Scholar
5.Taleb, L. An updated version of the multimechanism model for cyclic plasticity / L. Taleb, G. Caillteaud // Int. J. Plast. – 2010. – Vol. 26, no 6. – P. 859–874. Scholar
6.Saï, K. Multi-mechanism models: present state and future trends / K. Saï // Int. J. Plast. – 2011. – Vol. 27. – P. 250–28. DOI: 10.1016/j.ijplas. 2010.05.003 34 Scholar
7.Temperature-dependent, multi-mechanism crystal plasticity reveals the deformation and failure behaviour of multi-principal element alloys / Y. Xu, X. Lu, X. Yang, W. Li [et al.] // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2024. – Vol. 185. – 105549. Scholar
8.Asaro, R.J. Crystal plasticity / R.J. Asaro // Journal of Applied Mechanics. – 1983. – Vol. 50, no. 4b. – P. 921–934. Scholar
9.Caillteaud, G. A micromechanical approach to inelastic behavior of metals / G. Caillteaud // International Journal of Plasticity. – 1992. – Vol. 8, no. 1. – P. 55–73. Scholar
10.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56. Scholar
11.Трусов, П.В. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения / П.В. Трусов, А.И. Швейкин. – Новосибирск: Издательство СО РАН, 2019. – 605 с. Scholar
12.Гриценко, А.И. Моделирование процессов упругопластического деформирования монокристаллических сплавов / А.И. Гриценко, А.С. Семенов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. –2022. – Т. 2. – P. 58–71. Scholar
13.Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон, Ж. Каето, Ж.Л. Шабош, С. Форест; пер. с франц. А.С. Кравчука. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 397 с. [Non-linear mechanics of materials / J. Besson [et al.]. – Springer Science & Business Media, 2009.] Scholar
14.Конечно-элементный анализ термоциклической прочности лопаток газовых турбин Ч. 1. Модели материала, критерии разрушения, идентификация параметров / А.С. Семенов, А.И. Гриценко, М.Е. Колотников, Л.Б. Гецов // Вестник УГАТУ. – 2019. – Т. 23, № 1 (83). – С. 70–81. Scholar
15.Монокристаллы никелевых жаропрочных сплавов / Р.Е. Шалин, И.Л. Светлов, Е.Б. Качанов, В.Н. Толораия, О.С. Гаврилин. – М: Машиностроение, 1997. – 333 с. Scholar
16.Иноземцев, А.А. Двигатель ПД-14 – будущее российского авиапрома / А.А. Иноземцев // Инновации. Открытое акционерное общество «Трансфер-Инновации». – 2013. – Т. 12, № 182. – С. 77–80. Scholar
17.Иноземцев, А.А. О программе создания авиационных газотурбинных двигателей пятого поколения для семейства самолетов МС-21 / А.А. Иноземцев // Вестник Пермского федерального исследовательского центра. – 2010. – № 4. – С. 28–46. Scholar
18.Каблов, Е.Н. Монокристаллические никелевые рений содержащие сплавы для турбинных лопаток ГТД / Е.Н. Каблов, В.Н. Толорайя, Н.Г. Орехов // Металловедение и термическая обработка металлов. – 2002. – № 7. – С. 7–11. Scholar
19.Nickel base single crystals across length scales / L. Naze, V. Maurel, G. Eggeler, J. Cormier, G. Cailletaud. – Elsevier, 2021. – 610 p. Scholar
20.Каблов, Е.Н. Монокристаллические жаропрочные сплавы для газотурбинных двигателей / Е.Н. Каблов, Н.В. Петрушин, Е.С. Елотин // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2011. – № 2. – С. 38–52. Scholar
21.Семенов, А.С. Моделирование процесса возникновения овальности поперечного сечения образцов из монокристаллических жаропрочных никелевых сплавов при растяжении / А.С. Семенов, М.О. Беляев, А.И. Грищенко // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2.– С. 153–177. Scholar
22.Температурно-ориентационная зависимость характеристик кратковременной прочности, модуля Юнга и коэффициента линейного расширения монокристаллов сплава ЖС6Ф / И.Л. Светлов [и др.] // Проблемы прочности. – 1987. – № 1. – С. 51–56. Scholar
23.Упругие свойства монокристаллов никелевых сплавов / А.И. Кривко, А.И. Епишин, И.Л. Светлов, А.И. Самойлов // Проблемы прочности. – 1988. – № 2. – С. 68–75. Scholar
24.Светлов, И.Л. Анизотропия коэффициента Пуассона монокристаллов никелевого сплава / И.Л. Светлов, А.И. Епишин, А.И. Кривко // Доклады АН СССР. – 1988. – № 2. – С. 1372–1375. Scholar
25.Luo, C. Anisotropic thermomechanical fatigue of a nickel-base single-crystal superalloy Part I: Effects of crystal orientations and damage mechanisms / C. Luo, H. Yuan // International Journal of Fatigue. – 2023. – Vol. 168. – P. 107438. Scholar
26.Luo, C. Life assessment of anisotropic low cycle fatigue of nickel-base single crystal superalloy / C. Luo, H. Yuan // International Journal of Fatigue. – 2023. – Vol. 167. – P. 107310. Scholar
27.Бондарь, В.С. Неупругость. Варианты теории / В.С. Бондарь. – Физматлит, 2004. – 144 с. Scholar
28.Пальмов, В.А. Нелинейная механика деформируемых тел / В.А. Пальмов. – СПб: Изд-во СПбГПТУ, 2014. – 792 с. Scholar
29.Meric, L. Single crystal modelling for structural calculations: Part I – Model presentation / L. Meric, P. Poubanne, G. Cailletaud // Journal of Mechanical Design. – 1991. – Vol. 113. – P. 162–170. Scholar
30.Reed, R.C. The Superalloys: Fundamentals and Applications / R.C. Reed. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 372 p. Scholar
31.Семенов, А.С. PANTOCRATOR – конечно-элементный программный комплекс, ориентированный на решение нелинейных задач механики / А.С. Семенов // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения: труды V Между. конф. – СПб: Изд-во СПбГПТУ, 2003. – С. 466–480. Scholar
32.Murtazin, I.R. Simulation of inelastic response of polycrystalline nickel based on micromechanical model homogenization / I.R. Murtazin, B.E. Melnikov, A.S. Semenov // Advanced Problem in Mechanics III: Proceedings of the XLIX International Summer SchoolConference "Advanced Problems in Mechanics". – 2023. – P. 427–444. DOI: 10.1007/978-3-031-37246-9 Scholar
33.MATLAB Documentation. 2025. – URL: https://www.mathworks.com/help/matlab (accessed: 2025-09-09). Scholar
34.Gasnikov, A.V. Modern numerical optimization methods. The universal gradient descent method: a tutorial / A.V. Gasnikov. – Moscow: MIPT, 2018. – 291 p. Scholar
35.Pearson, K. Notes on regression and inheritance in the case of two parents / K. Pearson // Proceedings of the Royal Society of London. – 1895. – P. 240–242. Scholar
36.Семенова, А.А. Влияние кристаллографической ориентации ГЦК-монокристаллов на уровень пластических деформаций при одноосном монотонном и циклическом термомеханическом воздействиях / А.А. Семенова, А.И. Грищенко, А.С. Семенов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2023. – № 5. – С. 81–98. DOI: 10.15593/perm.mech/2023.5.08 Scholar

Article information

Published: 17 December 2025
Issue date: 17 December 2025
Issue: No. 5 (2025)