Initial flow during upsetting of a rigid-plastic porous hollow cylinder in a container

Considered is the instantaneous upsetting of a porous rigid/plastic ring in a container with no friction. The internal ring's radius is traction-free. A conventional flow theory of plasticity is adopted. The yield surface in the linear and quadratic stress invariants' space is rectangular. Therefore, three flow regimes are generally possible. However, it is shown that the only regime that may occur in the entire volume at the initial instant leads to plastic incompressibility. On the other hand, the regime leads to hydrostatic contraction never occurs. The general solution's structure depends on the initial values of the relative density and the inner ring's radius. The relationship between these parameters is determined, which leads to the fulfillment of the incompressibility condition in the entire ring, but upon reaching the maximum possible hydrostatic pressure on the contact surface of the ring and the container. In general, there are two regions in the ring. In the region adjacent to the inner radius of the ring, the incompressibility condition is fulfilled. In the region adjacent to the contact surface of the ring and the container, a singular mode occurs on the yield surface, and the material is plastically compressible. The boundary between these regions is determined in the course of solving the boundary value problem. In a particular case, the conditions on the boundary between the regions are fulfilled on the outer radius of the ring. The numerical solution is reduced to determining the root of a transcendental equation. An example of calculation is given illustrating the distribution of radial, circumferentitial, and axial stresses along the radius, as well as the dependence of the compression force on the inner radius of the ring.

НАЧАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИ ОСАДКЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО ПОРИСТОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА В КОНТЕЙНЕРЕ

Рассматривается начальное течение при осадке пористого жесткопластического кольца в контейнере без трения. Внутренний радиус кольца свободен от напряжений. Используется общепринятая теория пластического течения. Поверхность текучести в пространстве линейного и квадратичного инвариантов тензора напряжений представляется прямоугольником. Поэтому в общем случае возможны три режима течения. Однако показано, что единственный режим, который может возникнуть во всем объеме в начальный момент времени, приводит к пластической несжимаемости. С другой стороны, режим, приводящий к гидростатическому сжатию, никогда не реализуется. Структура общего решения зависит от начальных значений относительной плотности и внутреннего радиуса кольца. Определена зависимость между этими параметрами, которая приводит к выполнению условия несжимаемости во всем кольце, но при достижении предельно возможного гидростатического давления на поверхности контакта кольца и контейнера. В общем случае, в кольце существуют две области. В области, примыкающей к внутреннему радиусу кольца, выполняется условие несжимаемости. В области, примыкающей к поверхности контакта кольца и контейнера, возникает сингулярный режим на поверхности текучести, и материал является пластически сжимаемым. Граница между этими областями определяется в ходе решения краевой задачи. В частном случае, условия на границе между областями выполняются на внешнем радиусе кольца. Численное решение сводится к определению корня трансцендентного уравнения. Приводится пример расчета, иллюстрирующий распределение радиального, окружного и осевого напряжений по радиусу, а также зависимость усилия прессования от внутреннего радиуса кольца.