Effects of Terms of High Order in Synthesized Polynomial Series Approximation for Fields Associated with the Crack Tip in Anisotropic Media. Part 1. Comparison of Exact and Asymptotic Solutions for Determining Stresses at the Crack Tip

The article presents the analysis of asymptotic series expansions generalized to the case of anisotropic linearly elastic media representing fields of displacements, strains and stresses around the tip of an acute crack in anisotropic media. We study anisotropic materials with the simplest cubic symmetry and fields in the proximate neighbourhood of the crack tip. The asymptotic series are constructed on the essential principles of the classical theory of elasticity of an anisotropic body. By analyzing the series associated with the fields at the crack tip, it is shown that higher approximations with coefficients called generalized stress intensity factors have an essential impact on the accurate and relevant representation of the stress field to expand the zone of the asymptotic solution. Using the example of a plane problem for an infinite anisotropic plane with the cubic symmetry of properties (with different tensors of elastic modules having three independent elements) with different crack orientations relative to the axes of the symmetry of elastic properties, it is shown that in the generalized series, in addition to the first two terms (containing stress concentration factors and T-stresses), terms of higher orders of smallness should be preserved. The circumferential θ-approximations of the stress components at various spans from the crack tip are assembled with the retention of a different quantity of series terms to obtain sufficiently accurate approximations. A comparison of the dependencies of the tensor components on the polar angle obtained taking into account the different quantity of series terms clearly indicates the need to retain the higher approximations of the series. In order to expand the area in which the solution in the series is valid, it is necessary to preserve a larger number of terms. All computations were performed for real materials which elastic constants were determined using the molecular dynamics method for single-crystal substances with a face-centered cubic (FCC) lattice.

ЭФФЕКТЫ СЛАГАЕМЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ В ОБОБЩЕННЫХ РЯДАХ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЕЙ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ВЕРШИНОЙ ТРЕЩИНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ЧАСТЬ 1. СРАВНЕНИЕ ТОЧНОГО И АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ

Приводится анализ обобщенных на случай анизотропных линейно упругих сред асимптотических рядов, представляющих поля перемещений, деформаций и напряжений вблизи кончика острой трещины в анизотропных средах. Ключевой целью исследования является оценка механических полей в ближайшей окрестности вершины трещины в анизотропных материалах с простейшей кубической сингонией упругих свойств среды. Асимптотические ряды построены на основании классической теории упругости анизотропного тела. С помощью анализа рядов, ассоциированных с полями у вершины трещины, показано, что высшие приближения с коэффициентами, получившими название обобщенных коэффициентов интенсивности напряжений (ОКИН), оказывают значительное влияние на целостное представление поля напряжений при увеличении расстояния от кончика трещины. На примере плоской задачи для бесконечной анизотропной плоскости с кубической симметрией свойств (с различными тензорами упругих модулей, имеющими три независимых элемента) при различной ориентации трещины по отношению к осям симметрии упругих свойств показано, что в обобщенных рядах следует сохранять помимо первых двух слагаемых (содержащих коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) и Т-напряжения) члены более высоких порядков малости. Построены угловые (θ-распределения) зависимости компонент тензора напряжений в плоской задаче для двух различных расстояний от острия трещины, с принятием во внимание различное количество слагаемых ряда. Простое визуальное сопоставление и анализ зависимостей компонент тензора от полярного угла, выстроенных с учетом различного числа слагаемых ряда, ясно указывают на необходимость удержания высших приближений ряда. В целях расширения области, в которой справедливо решение в рядах, необходимо сохранять большее количество слагаемых. Все вычисления проведены для реальных материалов, упругие постоянные которых определены с помощью метода молекулярной динамики для монокристаллических веществ с гранецентрированной кубической (ГЦК) решеткой.